Inequalities in Statistics and Probability IMS Lecture Notes Monograph Series Vol. 5 (1984),  206 210 SELECTING  THE t BEST CELLS OF  A MULTINOMIAL USING  INVERSE SAMPLING BY PINYUEN  CHEN  and MILTON  SOBEL 1 Syracuse University and University of California at Santa Barbara An inverse sampling procedurezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC R is proposed for selecting the t "best"  cells (i.e.,  cells with the largest cell probabilities) from a multinomial distribution with k cells (1 ^ t< k).  Two different formulations of this selection problem are considered and the measure of distance in both formulations is the ratio of the largest and second largest cell prob abilities.  One formulation is of the usual type based on an empty indifference zone; in the other (new) formulation any collection of t cells from the union of the preference zone (for selection) and the indifference zone is called a correct selection.  Type 2 Dirichlet integrals are used (i)to express the probability of correct selection as an integral with parameters only in the limits of integration,  and (ii) to prove that the least favorable configuration for each of the formulations under R is the so called slippage configurations with kt equal cell probabilities and /  cell probabilities slipped to the right by a common amount. 1.  Introduction.  One of  the important applications of  ranking and selection tech niques is to select (without respect to order) the t best cells of a multinomial distribution with k  cells. For the special case t = 1 the fixed sample size problem was first  considered by Bechhofer, Elmaghraby and Morse (1959) and the inverse sampling procedure was first considered by Cacoullos and Sobel (1966). We are presently discussing fixed subset  size problems and not considering the random subset  size problem which was considered by Gupta and Nagel (1971) and more recently by Hu (1982). It  is well known by people work ing in this area that the generalization  of  the fixed subset  size problem to arbitrary t (1 < t < k)  presents some serious difficulties (cf.  the work of  Lee (1975) and Hwang, Hsuan and Parned (1980) on this topic). In this paper we consider the corresponding problem for general t ^ 1 with an inverse sampling procedure. Actually we consider two different formulations of  the ranking and selection problem. The measure of distance in both formulations is the ratio of cell probabilities as in the previ ous references. Let 0.1) P[\]^P[2]^' ^P[k t]^P[k t +\}^ ^P[k] denote the ordered cell probabilities which sum to one. Let δ*  > 1 and / > *((ί)" 1  <  P*  < 1) denote specified constants. In the usual (or first) formulation we require a procedure R such that (1.2)  P{CS\R} > P * whenever δ  ^ δ*, where b = p [k _ t+l] /P [k _ l] . Actually we need only consider configurations (1.1) with p [k ^_^  < P[k t + \  ] and in this case the definition of correct selection  (CS)  is clear, namely that we select the / cells with largest p  values. We shall say thep value is in the indifference zone (IZ)  if  it lies strictly between/ ?^_ /+1] /δ* and /?[*_,+1] The p values ^  p {k _ ί+λλ  will be said to lie in  the preference zone (PZ). 1  This paper was supported by National Science Foundation Grant Number MCS82 O2247. AMS1980 subject classifications.  Primary,  62F07; secondary,  62E15. Key words and phrases: Ranking and selection,  inverse sampling,  multinomial distribution,  Type 2 Dirichlet integral. 206