Propiedades Num´ ericas de Distintas Formulaciones para la Incorporaci´on de Diel´ ectricos con P´ erdidas en Simuladores FDTD Luis F. Velarde, Angel Vegas, Andr´ es Prieto y Jos´ e A. Pereda Departamento de Ingenier´ ıa de Comunicaciones (DICom), Universidad de Cantabria, Email: pereda@dicom.unican.es Abstract – Three different extensions of the FDTD method for the treatment of lossy dielectrics are considered: the time-average (TA), the time-forward (TF) and the time- backward (TB) difference schemes. An analytical study of the stability properties and numerical dispersion of these schemes is presented. Analytical stability conditions, based on the von Neumann method, are obtained and validated through numerical simulations. The numerical dispersion properties are established in terms of the discrete lossy di- electrics wavelength and skin depth. The expressions ob- tained are also validated numerically. Keywords – FDTD methods, Lossy dielectrics, Numerical Dispersion, Stability I. Introducci´ on E N su formulaci´on original, el m´ etodo de las diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD) no permit´ ıa emplear medios diel´ ectricos con p´ erdidas; sin embargo, en poco tiempo esta limitaci´ on fue eliminada. Para ello, se incluy´ o un t´ ermino de corriente de conducci´ on, σ ~ E, en la ecuaci´ on de Amp` ere-Maxwell, el cual deb´ ıa aproximarse, mediante diferencias finitas, de forma consistente con el esquema FDTD original. Se dieron dos soluciones distintas a este problema. La primera, y quiz´ a tambi´ en la m´ as extendida, consisti´ o en discretizar el t´ ermino σ ~ E mediante diferencias finitas cen- tradas [1]; la segunda, consist´ ıa en emplear diferencias fini- tas hacia adelante [2]. Nos referiremos a ellas como esque- ma centrado y esquema hacia adelante o forward, respecti- vamente. Ambas formulaciones han coexistido durante m´ as de dos d´ ecadas sin haberse realizado, hasta recientemente, estudios de sus propiedades num´ ericas [3]-[6]. En este trabajo se aborda el estudio de la estabilidad y dispersi´on num´ erica de los dos esquemas anteriormente mencionados; por completitud, tambi´ en se incluye una ter- cera formulaci´ on basada en aproximar el t´ ermino σ ~ E me- diante diferencias finitas hacia atr´as o backward. En cuanto a la estabilidad, se obtienen condiciones de estabilidad expl´ ıcitas para los tres esquemas, cuya validez se comprueba mediante simulaciones FDTD. En lo referente a la dispersi´ on, se obtiene la ecuaci´ on num´ erica de dispersi´on y se identifica el valor num´ erico de la permitividad compleja. Se calculan tambi´ en los valores num´ ericos de las longitudes de onda y de penetraci´ on por efecto pelicular. Estos par´ ametros se utilizan de base para un estudio comparativo de la exactitud de los tres esquemas considerados. II. Esquemas FDTD para medios con p´ erdidas Como punto de partida consideraremos las ecuaciones de Maxwell del rotacional ∇ × ~ E = −µ d ~ H dt , (1a) ∇ × ~ H = ² d ~ E dt + σ ~ E (1b) donde se ha incluido el t´ ermino de corriente de conducci´ on. De acuerdo con el m´ etodo FDTD original, la aproximaci´ on en diferencias del sistema anterior es R ~ E n = −µ δ t ∆ t ~ H n , (2a) R ~ H n+ 1 2 = ² δ t ∆ t ~ E n+ 1 2 + σ ~ E n+ 1 2 , (2b) donde R =    0 − δ z ∆z δ y ∆y δ z ∆z 0 − δ x ∆x − δ y ∆y δ x ∆x 0    representa la aproximaci´ on en diferencias del rotacional. En las expresiones anteriores δ α (α = x, y, z, t) denota el operador diferencia centrada respecto a la coordenada in- dicada en el sub´ ındice. Como resultado de esta discretizaci´on, el campo el´ ectrico se eval´ ua en instantes enteros de tiempo, salvo en el t´ ermino σ ~ E n+ 1 2 , que aparece evaluado en un instante semientero. La soluci´ on a esta inconsistencia da lugar a las tres formu- laciones que discutiremos en lo que sigue. A. Esquema centrado Consiste en emplear la siguiente aproximaci´on centrada para el t´ ermino σ ~ E n+ 1 2 σ ~ E n+ 1 2 ' σµ t ~ E n+ 1 2 = σ 2 ( ~ E n+1 + ~ E n ). (3) donde µ t es el operador promedio centrado. Sustituyendo estaaproximaci´on en (2b)y despejando ~ E n+1 se obtiene la formulaci´onbuscada.