J. Sains Dasar 2016 5(1) 40 - 47 SOLUSI TERBESAR PERTIDAKSAMAAN A O KROSS X KURANG DARI X DARI B O DOT X MENGGUNAKAN RESIDUASI MATRIKS ATAS SEMIRING IDEMPOTEN THE BEST SOLUTION FOR INEQUALITIES OF A O CROSS X LOWER THAN X FROM B O DOT X USING HIGH MATRIX RESIDUATION OF IDEMPOTENT SEMIRING Eka Susilowati *,1 dan Ari Suparwanto 2 1 Jurusan Matematika, Universitas PGRI Adibuana, Surabaya 2 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta *email: eka.susilowati@mail.ugm.ac.id Diterima 4 Desember 2015 disetujui 4 Maret 2016 Abstrak Semiring idempoten lengkap mempunyai struktur yang sama dengan lattice lengkap. Karena struk-tur yang sama dengan lattice lengkap, maka pertidaksamaan atas semiring idempoten lengkap dapat diperoleh solusinya melalui teori residuasi. Salah satu pertidaksamaan yang dibahas adalah pertidaksamaan A X B   dimana matrik A,X,B dengan entri - entrinya elemen dari semiring idempoten lengkap S. Lebih lanjut, diperkenalkan dual produk, yaitu b merupakan operasi biner yang dilengkapkan dalam semiring idempoten lengkap S dan bukan termasuk dalam de nisi standar semiring idempoten lengkap. Solusi pertidaksamaan A X B   dapat diperoleh dengan menggu-nakan teori residuasi. Karena adanya jaminan bahwa untuk setiap pemetaan isoton pada lattice lengkap selalu mempunyai fixed point, maka hal tersebut juga terjamin dalam semiring idempoten lengkap. Dengan demikian, karakteristik ini yang digunakan untuk dapat memperoleh solusi terbesar A X X B X    . Kata kunci: dual Kleene Star, dual produk, lattice lengkap, semiring idempoten lengkap, teori residuasi Abstract A complete idempotent semiring has a structure which is called a complete lattice. Because of the same structure as the complete lattice then inequality of the complete idempotent semiring can be solved a solution by using residuation theory. One of the inequality which is explained is A X B   where matrices A,X,B with entries in the complete idempotent semiring S. Furthermore, introduced dual product , i.e. binary operation endowed in a complete idempotent semirings S and not included in the standard definition of complete idempotent semirings. A solution of inequality A X B   can be solved by using residuation theory. Because of the guarantee that for each isotone mapping in complete lattice always has a fixed point, then is also exist in a complete idempotent semirings. This of the characteristics is used in order to obtain the greatest solution of inequality A X X B X    . Keywords: complete lattice, complete idempotent semiring, dual Kleene Star, dual product, residuation theory Pendahuluan Semiring idempoten S merupakan se-miring yang operasi penjumlahan ⊕ yang bersifat idempoten. Operasi penjumlahan ⊕ dan pergandaan ⊗ memiliki elemen netral yang dinotasikan  dan e. Semiring idempoten dikatakan lengkap jika jumlahan tak hingga elemennya tertutup dan operasi pergandaan ⊗ bersifat distributif terhadap jumlahan ⊕ tak hingga [1].