Abstract— This paper describes a computational model based on lumped elements for the mutual coupling between phases in transmission lines without the explicit use of modal transformation matrices. The self and mutual parameters and the coupling between phases are modeled using modal transformation techniques. The modal representation is developed from the intrinsic consideration of the modal transformation matrix and the resulting system of time-domain differential equations is described as state equations. Thus, a detailed profile ofthe currents and the voltages through the line can be easily calculated using numerical or analytical integration methods. However, the original contribution of the article is the proposal of a time-domain model without the successive phase/mode transformations and a practical implementation based on conventional electrical circuits, without the use of electromagnetic theory to model the coupling between phases. Keywords— Mutual coupling, lumped elements, transmission line theory, state equations. I. INTRODUÇÃO INHAS de transmissão são convencionalmente representadas por um conjunto de elementos infinitesimais ligados em cascata. A clássica representação por cascata de circuitos π ou quadripolos é um modo intuitivo e prático para modelagem de sistemas elétricos diretamente no domínio do tempo. Essa representação é amplamente conhecida e abordada em diversas literaturas, seja para pesquisa ou para fins didáticos; no entanto, é amplamente utilizada para simulação de transitórios eletromagnéticos e também de fenômenos em regime permanente em sistemas de energia elétrica. Dessa forma, o estudo de novas técnicas alternativas com base na representação em questão, bem como rotinas mais precisas e eficazes do ponto de vista computacional, é sempre uma abordagem interessante dentro do atual estado da arte. Em modelos baseados em elementos discretos, uma dada linha de transmissão é representada por múltiplos circuitos π ligados em cascata. Logo, a natureza distribuída dos parâmetros transversais e longitudinais é representada adequadamente em função do número de elementos utilizados, da faixa de frequência equivalente ao conteúdo harmônico do sinal transitório, ou então a frequência fundamental do sinal R. C. Silva, Universidade Estadual Paulista (UNESP), Ilha Solteira, Brasil, rcleber@gmail.com S. Kurokawa, Universidade Estadual Paulista (UNESP), Ilha Solteira, Brasil, kurokawa@dee.feis.unesp.br E. C. M. Costa, Universidade de Campinas, Campinas, Brasil, educosta@dsce.fee.unicamp.br J. Pissolato, Universidade de Campinas, Campinas, Brasil, pisso@dsce.fee.unicamp.br em regime. Outra prática eficaz e muito utilizada é a representação do conjunto de equações diferenciais, relativas à representação por parâmetros discretos, no espaço de estado. Dessa forma, um perfil detalhado das tensões e correntes em qualquer ponto da linha pode ser obtido e armazenado em um único vetor diretamente no domínio do tempo. Ademais, simulações considerando componentes e fenômenos eletromagnéticos não lineares são facilmente modelados no domínio do tempo com base na representação do sistema elétrico por parâmetros discretizados [1], o que representa uma grande vantagem computacional e estrutural quando comparadas às simulações realizadas a partir de modelos considerando parâmetros distribuídos no domínio da frequência e fazendo uso de transformadas inversas [2]-[5]. Além disso, vale destacar ainda que o sistema de equações diferenciais de primeira ordem, ou equações de estado, pode ser facilmente solucionado por métodos numéricos ou analíticos de integração [6]. Atualmente, existem diversos softwares dedicados para manipulação e realização de operações com matrizes esparsas. A representação no espaço de estado, muitas vezes, dependendo da quantidade de elementos utilizados na discretização do sistema, apresenta-se amplamente esparsa. Portanto, o modelo proposto é implementado no Matlab e técnicas intrínsecas desse software são utilizadas na manipulação das matrizes de estado, resultando em um algoritmo robusto e computacionalmente eficaz. Além disso, uma solução analítica das equações de estado (Eigenbased- Solution) é aplicada, possibilitando a utilização de um amplo passo de integração e uma maior velocidade de processamento sem degradar a precisão das simulações. Na representação de sistemas polifásicos, é convencional a utilização de análise modal na modelagem do acoplamento mútuo entre as fases ao invés da teoria eletromagnética com base nas equações exatas de Maxwell, sendo essa ultima uma representação complexa, quando não impraticável, na modelagem dos parâmetros mútuos e próprios em linhas de transmissão. Fazendo uso de técnicas de desacoplamento modal, a linha é decomposta em seus modos exatos de propagação, sendo esses totalmente independentes uns dos outros, ou seja, cada modo pode ser considerado como sendo uma linha monofásica e facilmente representada por uma cascata de circuitos π ou por quadripolos [7]. O desenvolvimento proposto nesse artigo descreve uma modelagem alternativa para o acoplamento mútuo entre as fases de uma linha de transmissão polifásica, fazendo uso de elementos discretos e considerando de forma intrínseca as sucessivas transformações entre os domínios modais e das R. C. Silva, E. C. M. Costa, S. Kurokawa and J. Pissolato Equivalent Representation of Mutual Coupling in Transmission Lines by Discrete Element L IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 11, NO. 2, MARCH 2013 743