Uma Curva El´ ıptica sobre F 23 Jaime Edmundo Apaza Rodriguez ∗ Departamento de Matem´atica, UNESP, Ilha Solteira 10 de dezembro de 2013 Resumo Neste trabalho apresentamos um modelo de Curva El´ ıptica definida sobre um Corpo Primo. Nas primeiras se¸c˜oes fazemos um estudo preliminar das Curvas El´ ıpticas e Corpos Finitos, em especial os Corpos de Galois, onde s˜ao definidas as opera¸c˜oesdeadi¸c˜aonacurvael´ ıptica em cada caso (dependendo da caracter´ ıstica do corpo em quest˜ao). Na ´ ultima se¸c˜ao apresentamos um modelo de Curva El´ ıptica definida sobre F 23 . Palavras Chave: Curva El´ ıptica, Corpo Finito, Corpo Primo, Equa¸c˜ao de Wei- erstrass, caracter´ ıstica de um corpo. 1 Introdu¸c˜ ao A Teoria das Curvas El´ ıpticas ´ e um dos mais belos assuntos da Matem´atica e tem aplica¸c˜oes em diversas ´areas, como por exemplo em, Geometria Diferencial (Su- perf´ ıcies M´ ınimas), Teoria dos N´ umeros (´ ultimo Teorema de Fermat, Teorema de Wiles-Taylor), Geometria Alg´ ebrica sobre Corpos Finitos (Teorema de Hasse-Weil, Hip´otese de Riemann) e Criptografia (senhas, autentica¸ c˜oes, assinaturas digitais, etc.) As curvas el´ ıpticas se definem mediante equa¸c˜oes c´ ubicas (polinˆomios de grau 3). Tem sido usadas para provar o ´ ultimo Teorema de Fermat e se empregam tamb´ em em Criptografia e em Fatora¸ c˜ao de Inteiros. Estas curvas n˜ao s˜ao elipses. As curvas el´ ıpticass˜ao “regulares” ou “n˜ao-singulares”, o que significa que n˜ao tˆ em “c´ uspides” nem auto-intersec¸ c˜oes,epode-sedefinirumaopera¸c˜aobin´ariano conjunto de seus pontos de uma maneira geom´ etrica natural, o que fornece a este conjunto uma estrutura de grupo abeliano. As curvas el´ ıpticas podem definir-se sobre qualquer corpo K. Se a caracter´ ıstica de K n˜ao´ e nem 2 nem 3, ent˜ao toda curva el´ ıptica sobre K pode-se escrever na forma y 2 = x 3 + ax + b, onde a e b s˜aoelementosde K, com △ =4a 3 +27b 2 ̸= 0(discriminanten˜ao-nulo), de modo que o polinˆomio x 3 + ax + b n˜ ao tenha nenhuma raiz dupla. Se a caracter´ ıstica for 2 ou 3 ser´a necess´ario considerar mais termos na equa¸c˜ao acima. Normalmente se define uma curva alg´ ebrica como o conjunto de todos os pontos (x, y) que satisfazem a equa¸c˜ao acima dada, tais que x e y sejam elementos do fecho * Email: jaime@mat.feis.unesp.br 1