1 Abstrak— Transformasi wavelet kontinu merupakan topik matematika yang menarik untuk dikembangkan. Salah satu pengembangan tersebut adalah konsep transformasi wavelet kontinu pada ruang   (ℝ  ) dengan dilasi vektor. Disisi lain, sifat transformasi linear terbatas dan kontinuitas suatu fungsi merupakan topik yang menarik untuk dikaji dalam matematika. Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan syarat kontinuitas pada ℝ +  × ℝ  dari fungsi hasil transformasi wavelet kontinu pada ruang   (ℝ  ) dengan dilasi vektor dan menyelidiki bahwa transformasi wavelet kontinu pada ruang   (ℝ  ) dengan faktor dilasi vektor merupakan transformasi linier terbatas dari ruang   (ℝ  ) ke ruang  ∞ (ℝ +  )×   (ℝ  ), untuk pangkat dilasi  = . Pada penelitian ini, nilai  dan  pada   (ℝ  )merupakan bilangan asli. Kata Kunci— transformasi wavelet kontinu, ruang   (ℝ  ), fungsi kontinu, transformasi linear terbatas I. PENDAHULUAN Transformasi wavelet merupakan perbaikan dari transformasi Fourier.Transformasi Fourier hanya memberikan frekuensi dari suatu sinyal, sedangkan transformasi wavelet tidak hanya memberikan informasi mengenai frekuensi yang muncul, akan tetapi memberikan posisi waktu dari frekuensi tersebut. Ada dua jenis transformasi wavelet, yaitu transformasi wavelet kontinu dan transformasi wavelet diskrit. Pada transformasi wavelet kontinu, nilai parameter translasi dan dilasi merupakan bilangan real, sedangkan pada transformasi wavelet diskrit, nilai parameter translasi dan dilasi merupakan bilangan bulat. Dalam bidang teknologi, transformasi wavelet diskrit memiliki manfaat yang lebih besar dari transformasi wavelet kontinu , khususnya dalam teknologi komputasi, hal ini disebabkan semua sinyal atau data yang diolah menggunakan komputer selalu dalam bentuk sinyal atau data diskrit. Transformasi wavelet kontinu merupakan salah satu topik matematika yang mengalami pengembangan secara teoritis. Salah satu pengembangan tersebut adalah transformasi wavelet kontinu pada ruang   (ℝ  ) dengan faktor dilasi vektor yang diperkenalkan oleh Pathak dalam [1]. Disisi lain, sifat kontinuitas suatu fungsi dan penelitian transformasi wavelet sebagai transformasi linear terbatas merupakan topik yang menarik untuk dikaji. Dalam analisis real, kontinuitas dari suatu fungsi memiliki sifat-sifat tertentu, antara lain nilai limit kiri dan limit kanan dari fungsi kontinu adalah sama, fungsi kontinu yang monoton tegas memiliki invers yang juga fungsi kontinu monoton tegas, fungsi kontinu merupakan fungsi terbatas dalam ℝ, dan fungsi kontinu memiliki nilai absolout maksimum dan minimum. Kontinuitas suatu fungsi juga memiliki peranan dalam kalkulus integral dan diferensial, kontinuitas suatu fungsi pada ℝ  merupakan syarat cukup agar fungsi tersebut tertintegral Riemann dan merupakan syarat perlu agar fungsi tersebut terdiferensial pada ℝ  . Lebih lanjut, dalam analisis fungsional, himpunan semua fungsi kontinu pada ℝ  membentuk ruang Banach yang bersifat padat dalam   (ℝ  ). Sedangkan, suatu transformasi linear yangterbatas menunjukkan bahwa transfromasi tersebut memiliki nilai berhingga dalam norma dan mengakibatkan transformasi tersebut kontinu di setiap domain transformasi, disamping itu dari himpunan semua transformasi linear terbatas dapat dibentuk suatu ruang Banach tertentu. Sedangkan penelitian untuk mendapatkan syarat kontinuitas fungsi hasil transformasi dan penyelidikan tentang transformai linear terbatas dari transformasi wavelet kontinu pada ruang   (ℝ  ) dengan faktor dilasi vektor belum pernah dilakukan. Oleh karena itu, pada penelitian ini didapatkan syarat kontinuitas fungsi hasil transformasi wavelet kontinu pada ruang   (ℝ  ) dengan faktor dilasi vektor dan ditunjukkan bahwa transformasi wavelet kontinu pada ruang   (ℝ  ) dengan faktor dilasi vektor merupakan transformasi linier terbatas untuk  =1. Kontinuitas yang dimaksud adalah kontinuitas pada ℝ +  × ℝ  , sedangkan transformasi linear yang dimaksud adalah transformasi linear dari ruang   (ℝ  ) ke ruang  ∞ (ℝ +  )×   (ℝ  ). Dalam hal ini, nilai  dan  pada ℝ  dibatasi hanya untuk bilangan asli. II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan definisi dan sifat-sifat dari transformasi wavelet satu variabel dari fungsi di ruang  2 (ℝ) dan ruang   (ℝ), transformasi wavelet multivariabel  2 (ℝ  ) dan L p (R n ), dan transformasi wavelet di ruang   (ℝ  ) dengan faktor dilasi vektor. TRANSFORMASI WAVELET KONTINU PADA RUANG   (ℝ  ) DENGAN DILASI VEKTOR Rizky Darmawan, Mahmud Yunus Program Studi Pascasarjana Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 yunusm@matematika.its.ac.id brought to you by CORE View metadata, citation and similar papers at core.ac.uk provided by ITS Repository