✐ ✐ “v49n1a04-Dragomir” — 2015/6/30 — 10:01 — page 77 — #1 ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ Revista Colombiana de Matem´ aticas Volumen 49(2015)1, p´ aginas 77-94 Gr¨ uss Type Inequalities for Complex Functions Defined on Unit Circle with Applications for Unitary Operators in Hilbert Spaces Desigualdades de tipo Gr¨ uss para funciones complejas definidas sobre el c´ ırculo unitario con aplicaciones para operadores en espacios Hilbert Silvestru Sever Dragomir Victoria University, Melbourne, Australia University of the Witwatersrand, Johannesburg, South Africa Abstract. Some Gr¨ uss type inequalities for the Riemann-Stieltjes integral of continuous complex valued integrands defined on the complex unit circle C(0, 1) and various subclasses of integrators are given. Natural applications for functions of unitary operators in Hilbert spaces are provided. Key words and phrases. Gr¨ uss type inequalities, Riemann-Stieltjes integral in- equalities, Unitary operators in Hilbert spaces, Spectral theory, Quadrature rules. 2010 Mathematics Subject Classification. 26D15, 41A51, 47A63. Resumen. Se proporcionan algunas desigualdades tipo Gr¨ uss para la integral de Riemann-Stieltjes de integrandos de valores continuos complejos definidos sobre el circulo unitario complejo C(0, 1) y varias subclases de integradores son dados. Aplicaciones naturales para funciones de operadores unitarios en espacios de Hilbert son proporcionadas. Palabras y frases clave. Desigualdades de tipo Gr¨ uss, desigualdades integrales de Riemann-Stieltjes, Operadores unitarios en espacios de Hilbert, teoria es- pectral, reglas de cuadratura. 77