Optimización del Beneficio del Monopolista Discriminador de Precios de Tercer Grado. coloquio de la sociedad matemática peruana Carlos Gutiérrez Del 9 al 13 de agosto 2010 - PUCP, Lima Resumen Abstract Un productor, monopolista, aplica discriminación de precios de tercer grado, en su industria (mercado), conociendo las ginal de producción se iguala a la función de ingreso marginal en el mercado, donde se concluye que el costo marginal de producción de equilibrio de la industria iguala a la función de ingreso marginal en cada submercado, logrando hallarse la cantidad producida de equilibrio para cada submercado y el precio de equilibrio al que se vende cada producto. A monopolist producer applies a third-degree price discrimination scheme to his industry, by knowing in rginal cost equals to marginal revenue in each market. From here, it can be concluded that equilibrium marginal cost of industry equals marginal revenue librium quantity for each sub-market and the equilibrium price at which each product is sold. 2. monopolio, discriminación de precios de tercer grado, segmentación de mercados, función de demanda del mercado, función de demanda de la industria, función de ingreso total del ofertante, función del costo total de producción, función de beneficio extraordinario. -monopoly, third-degree price discrimination, market segmentation, market demand function, industry demand function, total income of supplier, total cost production function, extraordinary profit function. Palabras Clave: Keywords: 1. Supuestos i) Homogeneidad del bien demandado con cantidad ii) Monopolista segmenta la industria en n mercados con precios iii) No existe arbitraje (no reventa), pues: iv) No existe conexión entre mercados. v) La producción se realiza en una sola planta (no hay costos individuales por mercado). ii) Función de demanda del bien producido por el monopolista discriminador de precios de tercer grado en la industria: se obtiene así: es también una función biyectiva, continua, solo derivable de primer orden y estrictamente decreciente (ésta permita cumplir con la Ley de la Demanda); que es la función de demanda inversa del bien producido por el monopolista en la industria, que es también una función biyectiva, continua, solo derivable de primer orden y monótona decreciente. =1 =1 = [ ( )] =1 = [ ( = )] = [ ( )] =1 =1 [ =1 ] 1 ( )= ( =1 ) José Fernando Larios Meoño Víctor Josué Álvarez Quiroz 5. Conclusiones 3. Optimización del Monopolista en la Industria La condición de primer orden para la optimización exige que: se deduce que: , hallándose la cantidad demandada de equilibrio de la industria, la industria: si se cumple si rma que la función de costo marginal de equilibrio de la industria, , debe tener pendiente no negativa: La condición de segundo orden para la optimización exige que: (3.1) (3.6) (3.2) (3.3) (sigue al costado) (sigue al costado) =0 =1 = =0 =1 =1 =1 = 1,2,3, … , =1 =1 =1 =1 =0 =1 =1 =1 + =1 = =1 =1 =1 = =1 =1 =1 (3.4) 2 ( =1 ) 2 =1 =1 =1 =1 <0 (3.5) 2 ( =1 ) 2 =1 0 =1 + +2 =1 =1 2 ( =1 ) 2 =1 0 ; + <0 2 =1 2 ( =1 ) =1 0 ( =1 ) 2 ( =1 ) 2 =1 =1 = =1 =1 =1 0 Bibliografía Dr. José Fernando Larios Meoño Doctor en Educación Magister en Economía Catedrático de Economía Matemática de la Universidad San Ignacio de Loyola, Lima Víctor Josué Álvarez Quiroz Miembro de la Sociedad Matemática Peruana Alumno de Pregrado en Economía de la Universidad San Ignacio de Loyola, Lima Profesor de Geometría Elemental vijosal@hotmail.com Autores: -Apostol, T.M. (2009). Análisis Matemático. Barcelona: Reverté. -Chiang, A.C. & Wainwright, K. (2007). Métodos Fundamentales de Economía Matemática. México D.F.: Mc Graw Hill. i) Función de demanda del bien en el mercado (demanda individual): cuyos dominio es una función continua en ( ( ) ) 0 ( ) es una función estrictamente decreciente cumpliéndose así la Ley de la Demanda; es una función biyectiva pues que es la función inversa de demanda del bien producido por el monopolista en cada mercado, que es también una función biyectiva, contínua, solo derivable de primer orden y monótona decreciente. = ( ); = 1,2,3, … , ( ( ) ) ( ) + ( ) + ; ( ) ( ) 2 ( )=0; ( ) ( ) ! ( ) | ( )= ; ( )= ( ) iii) Función de ingreso total del monopolista discriminador de precios de tercer grado en cada mercado: es una función continua en ; es una función estrictamente cóncava . = ( ) = 1,2,3, … , ( ) ( )=[ ( )][ ]; ( ) ( ( ) ) ( ( ) ): ( ) + ( ) + ; ( ) iv) Función de ingreso marginal del monopolista discriminador de precios de tercer grado en cada mercado: = ( )= ( )= ( ) [ ]+ ( ) = 1,2,3, … , función continua; es una función estrictamente decreciente . ( ( ) ) ( ( ) ): ( ) ( ) ( ) v) económica: ,como es un agregado de los n mercados: es una función continua, estrictamente cóncava, diferenciable de primer orden y segundo orden. IT( ) IT( )= [ ( )][ ] IT( ) IT( )= [ ( )] IT( )= [ ( )] = {[ ( )][ ]} ( ) : ; IT( ) vii) Función de ingreso marginal del monopolista discriminador de precios de tercer grado en la industria: y rango una función biyectiva; es una función continua; es una función estrictamente decreciente. = ( )= IT( )= ( ) [ ]+ ( ) ( ) ( ): ; ( ) ( ) ( ) viii) Función de costo total de producción del monopolista discriminador de precios de tercer grado: es una función continua en = ( )= + ( ) ( ) ( ): ; ( ) ( ) CMg  La pendiente del ingreso marginal del monopolista en cada mercado y en la industria son el doble de la pendiente de sus respectivas funciones inversas de demanda (o funciones directas de demanda):  Las funciones de demanda en cada mercado y la de la industria son inelásticas. Mercado : Industria: , pues no existen bienes sustitutos, además: .  , hallándose primero y y luego el precio de equilibrio de la industria y los precios de equilibrio en cada mercado , para �inalmente hallar y . Esto se cumple si . (sigue al costado) La condición de primer orden para la optimización exige que: de donde se deduce lo mismo del , de donde se deduce lo mismo del La condición de segundo orden exige que: 4. Optimización del Monopolista en cada Mercado (4.6) (4.7) | 1 | , | 2 | , | 3 | ,…, | 1 | : 2 =1 2 ( =1 )= =1 [ ( =1 )] 0 ( )=2 ( ) < 0. (4.1) (5.1) =1 = [ ( )][ ] =1 =1 = 1,2,3, … , (4.2) [ ( )][ ] =1 =1 =0 ( )( )+ ( )= =1 =1 de donde se deduce que: hallándose la cantidad demandada de equilibrio en un rio de la industria pues ( ) ( )= =1 =1 = ( ) =1 . Analizando el determinante hessiano: (4.3) | |= 2 1 2 =1 2 1 2 =1 2 1 =1 2 2 1 =1 2 2 2 =1 2 2 =1 2 1 =1 2 2 =1 2 2 =1 = 2 1 1 ( 1 ) 2 ( =1 ) 2 =1 2 ( =1 ) 2 =1 2 ( =1 ) 2 =1 2 ( =1 ) 2 =1 2 2 2 ( 2 ) 2 ( =1 ) 2 =1 2 ( =1 ) 2 =1 2 ( =1 ) 2 =1 2 ( =1 ) 2 =1 2 ( ) 2 ( =1 ) 2 =1 (4.4) | 1 |=2 1 1 ( 1 ) 2 =1 2 ( =1 ) 0 ; + <0 de equilibrio de la industria, ,debe tener pendiente no negativa; de donde se deduce que: ue la función de costo marginal 2 =1 2 ( =1 )= =1 [ ( =1 )] 0 ( =1 ) (4.5) | 2 |= 2 1 1 ( 1 ) 2 2 2 ( 2 ) 2 1 1 ( 1 ) +2 2 2 ( 2 ) 2 ( =1 ) 2 =1 0 ; + >0 | 3 |= 2 1 1 ( 1 ) 2 2 2 ( 2 ) 2 3 3 ( 3 ) 2 1 1 ( 1 ) 2 2 2 ( 2 ) + 2 1 1 ( 1 ) 2 3 3 ( 3 ) + 2 2 2 ( 2 ) 2 3 3 ( 3 ) 2 ( =1 ) 2 =1 0 ; + + 2 1 1 ( 1 ) +2 2 2 ( 2 ) +2 3 3 ( 3 ) 2 ( =1 ) 2 =1 0 ; + 2 <0 | 1 | y | 2 | : 2 =1 2 ( =1 )= =1 [ ( =1 )] 0 ( )=2 ( ) < 0 ; : de donde se deduce lo mismo del: se sabe: ; P Analisis Real Emprendedores formando emprendedores Larissa Merzthal - Diseño Grafico 990 466 235