VANISHING SUMS OF ROOTS OF UNITY H W Lenstra, Jr INTRODUCTION This paper is a survey of what is known about the magnitude of coeffi cients appearing in linear relations between roots of unity. The special case of the cyclotomic polynomial is considered in section l; section 2 is devoted to more general relations. Various open problems will be indicated. By n and m we shall always mean positive integers, and by p a prime number; n is calledzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA squarefree if n is a product of distinct primes. By m l n we mean that m divides n. An n th root of unity, or simply an n th root, is a complex number α  for which α = l. It is called primitive if there exists no m < n with α =1. The ring of integers is denoted by Z5, and φ denotes the field of rational numbers. Research for this paper was supported by the Netherlands Organization for the Advancement of Pure Research (Z.W.O). Acknowledgements are due to the I.H.E.S. for its hospitality and to C.L. Stewart for providing ref. [10]. l. Coefficients of the cyclotomic polynomiaj The n th cyclotomic polynomial Φ is defined by n (1.1) Φ = Π(χ ), " ζ where ζ ranges over the primitive n th roots of unity. We have (1.2) dln  Q since both sides are equal to Π  n  (X  ζ). From (1.2) one deduces, by induction on n, that Φ has coefficients in 2Z. Its degree is φ(η), where φ is Euler's function