Periodico di Matematiche (1995), VII, 1, 1, 32-40 La funzione ζ e la congettura di Riemann PIERO PLAZZI GIORGIO T. BAGNI Istituto di Matematica Generale Professore a contratto (1995-1996) Università di Bologna Dipartimento di Matematica, Università di Bologna Summary. In this paper, we discuss some questions about the Riemann zeta function (ζ), with historical remarks, particularly about the link between the zeta function and the prime numbers, based on a famous Eulerian product (1737). In 1859, Riemann defined the zeta function for complex numbers; he conjectured that all nontrivial zeroes of ζ: x→ζ(x) are on the line Re(x) = ½; this hypothesis has never been proved; computations of the zeroes of ζ have been made, and the first 1,500,000,001 nontrivial zeroes of ζ are on the line Re(x) = ½ (1986). INTRODUZIONE Un importante campo di ricerca nella teoria dei numeri è collegato allo studio della funzione ζ, introdotta e studiata (1737) come funzione reale di variabile reale da Leonhard Euler (1707-1783) ([3], pp. 970-971). Bernhard Riemann (1826-1866), considerando la funzione ζ come funzione complessa di variabile complessa, propose una congettura riguardante i suoi zeri non reali in C: in particolare, egli suppose che la parte reale di questi zeri sia ½. A tale celebre supposizione sono collegate molte questioni sulla distribuzione dei numeri primi nell’insieme dei naturali ([1], pp. 347-349). Nel presente articolo sarà ripercorsa, in termini elementari, la storia della funzione ζ e della congettura di Riemann, uno degli affascinanti problemi aperti che ancora impegnano gli studiosi della teoria dei numeri. LEONHARD EULER E LA FUNZIONE ζ La funzione zeta, ζ: D→R (con D⊆R), introdotta da Euler, è espressa da: ζ( ) . . . x n x n x x x = = + + + + = +∞ ∑ 1 1 1 2 1 3 1 4 1