Sur diff´ erentes mesures de d´ ependances causales entre signaux al´ eatoires Pierre-Olivier AMBLARD 1 , Olivier MICHEL 1 1 GIPSA-lab, D´ ept. Images et Signal (UMR CNRS 5083) ENSE3-BP 46 38402 Saint Martin d’H` eres Cedex bidou.amblard@gipsa-lab.inpg.fr,olivier.michel@gipsa-lab.inpg.fr R´ esum´ e– Nous nous int´ eressons ` a des mesures de d´ ependances causales entre des s´ eries temporelles. Nous montrons qu’une approche fond´ ee sur la pr´ ediction et largement d´ evelopp´ ee par des ´ econom´ etriciens peut ˆ etre lue dans le cadre de la th´ eorie de l’information dirig´ ee. L’utilisation pratique de ces approches est illustr´ ee par un exemple simple qui met en lumi` ere les difficult´ es d’estimation des grandeurs d’information, et qui met en avant la relativit´ e des deux analyses ` a l’observation faite. Abstract – We study two different class of methods to infer causal dependencies between time series. We show that the well-known Granger causality as developed by Geweke and others and based on prediction is included in the theory of directed information. The practical use of these methods is illustrated by a simple example. It reveals the difficulty to correctly estimate and use the directed information. Furthermore, it illustrates the fundamental problem of relativity of the analysis with respect to the observed times series. 1 Motivations Le cadre dans lequel nous nous plac ¸ons ici est celui des r´ eseaux de syst` emes en interaction. Une des difficult´ es impor- tantes rencontr´ ees dans ces ´ etudes est relative ` a la n´ ecessit´ e de d´ efinir la notion de flot d’information. Un objectif important consiste ` a comprendre comment l’information circule entre les diff´ erents syst` emes. Nous supposons disposer pour chaque nœud du r´ eseau des mesures temporelles issues du syst` eme port´ e par le nœud. L’enjeu de ces r´ eflexions est d’identifier ` a partir de l’ensemble de ces mesures le sens de l’interaction entre deux syst` emes, chacun port´ e par un nœud. Plus parti- culi` erement, nous voulons r´ ev´ eler l’existence de relations di- rig´ ees de type maˆ ıtre-esclave entre les syst` emes ´ etudi´ es. Le cadre de ce travail est donc celui de la mod´ elisation de signaux multidimensionnels dont la structure de d´ ependance est r´ egie par un graphe directionnel. L’objectif est l’estimation de ce graphe ` a partir des signaux observ´ es. Ces questions ont ´ et´ e abord´ ees dans diverses disciplines, sous divers angles et dans diverses applications. Elles rel` event par exemple de la notion de causalit´ e d´ evelopp´ ee par Granger, Pearl et d’autres [1, 2], mais ´ egalement de la th´ eorie de l’infor- mation des r´ eseaux [3, 4] ou encore de la th´ eorie des syst` emes dynamiques et de leurs couplages [5, 6]. Dans cette ´ etude, nous consid´ erons deux grandes classes de m´ ethodes qui permettent de proposer des r´ eponses aux interrogations pos´ ees. Le but du travail est de d´ egager les points communs entre ces approches, de tenter d’en expliciter les avantages et inconv´ enients, et en- fin de discuter les probl` emes d’estimation des grandeurs ca- ract´ eristiques de ces approches. – Approches fond´ ees sur la pr´ ediction (du type « Wiener- Granger » ). Ces m´ ethodes reposent sur une assertion de Wie- ner selon laquelle un signal x t est la cause d’un autre y t si la pr´ ediction de y t est am´ elior´ ee par la prise en compte de x. Cette remarque a ´ et´ e largement d´ evelopp´ ee, ´ etendue et discut´ ee par Granger. Ce dernier a mis en ´ evidence ses limitations et a d´ evelopp´ e des approches op´ erationnelles pour tester la causa- lit´ e selon ce principe. Des extensions ont ´ et´ e propos´ e ensuite par Geweke, puis par Rissannen&Wax [9, 10]. – Approches fond´ ees sur la th´ eorie de l’information. Les liens de d´ ependances causales entre s´ eries temporelles ne peuvent ˆ etre quantifi´ es par les grandeurs usuelles de la th´ eorie de l’in- formation, telle l’information mutuelle. Cette derni` ere mesure, sym´ etrique entre les signaux ou syst` emes consid´ er´ es, ne r´ epond qu’` a la question pertinente de d´ ependance statistique entre deux signaux. La prise en compte d’un sens de circulation de l’information impose d’avoir recours ` a la th´ eorie de l’informa- tion bidirectionnelle, introduite par Marko [7] dans les ann´ ees 70 et ´ etendue par Massey [4] puis Kramers [8] dans les ann´ ees 90. Cette th´ eorie repose sur une analyse fine d’un transfert d’in- formation et de la prise en compte de l’influence de la pr´ esence possible de « feedback » entre deux s´ eries temporelles. Il en r´ esulte la d´ efinition de la notion peu usit´ ee actuellement d’in- formation dirig´ ee. Ces diff´ erentes approches (moins pour la deuxi` eme qui est nouvelle dans ce contexte) ont ´ et´ e largement ´ etudi´ ees dans di- verses litt´ eratures, appliqu´ ees avec plus ou moins de bonheur dans des disciplines aussi vari´ ees que neuroscience, ´ economie ou physique. Dans le paragraphe 2, des liens th´ eoriques entre ces approches sont mis en ´ evidence. Le paragraphe 3 est d´ edi´ e ` a une discussion sur la nature et l’utilisation de ces m´ ethodes