Elem. Math. 55 (2000) 95 – 101 0013-6018/00/030095-7 $ 1.50+0.20/0 c  Birkha ¨user Verlag, Basel, 2000 Elemente der Mathematik On the Equation x y = y x Y.S. Kupitz and H. Martini Yaakov S. Kupitz wurde 1950 in Israel geboren. Er studierte Mathematik an der He- brew University in Jerusalem, wo er auch als Schu ¨ler von Professor Micha A. Perles auf dem Gebiet der kombinatorischen Geometrie promovierte. Herr Kupitz besuchte zahlreiche diesem Gebiet gewidmete Spezialtagungen und verbrachte einen la ¨ngeren Forschungsaufenthalt an der Universita ¨t in Aarhus (Da ¨nemark). Zur Zeit unterrichtet er Mathematik an der Hebrew University in Jerusalem. Seine Forschungsinteressen ausserhalb der Mathematik beziehen sich auf die Quellen der antiken hebra ¨ischen Sprache und das Alte Testament. Horst Martini wurde 1954 in Grossro ¨hrsdorf bei Dresden geboren. Er studierte Lehr- amt fu ¨r Mathematik und Geographie in Dresden, wo er 1984 auch seine Doktorar- beit im Fach Geometrie verteidigte. Nach der Habilitation an der Friedrich-Schiller- Universita ¨t in Jena zu einem Thema aus der Konvexgeometrie wurde er 1989 zum o. Hochschuldozenten fu ¨r Geometrie in Dresden berufen. Gastaufenthalte (auch als Humboldt-Stipendiat) nach der Wende fu ¨hrten ihn u.a. nach Trier und Augsburg, und 1993 nahm er den Ruf auf eine C4-Professur fu ¨r Geometrie an die Techni- sche Universita ¨t Chemnitz an. Die Publikationen von Herrn Martini sind vor allem der klassischen Geometrie und der Konvexgeometrie zuzuordnen. In seiner Freizeit befasst er sich u.a. mit Musik (Klassik, Blues, ...) und Geographie (entsprechende Reisen, ausgedehnte Wanderungen). 1 Introduction The equation x y = y x , x, y > 0, seems to be abandoned in the literature, except for a remote hebrew journal [2] (but see our remarks at the end of this introduction). It is the aim here to give it due treatment. . Die wohlbekannte Kommutativita ¨t der Addition und der Multiplikation reeller Zahlen fu ¨ hrt auf die Frage nach der Symmetrie der sieben Grundrechenarten Addition, Subtrak- tion, Multiplikation, Division, Potenzieren, Radizieren, Logarithmieren. Mit anderen Worten stellt sich die Frage: Wie heissen alle Lo ¨sungen der Gleichung x ◦ y = y ◦ x, wobei ◦ eine der sieben Grundrechenarten bedeutet? Im Falle der Addition und der Multiplikation erfu ¨llen wegen der Kommutativita ¨t alle reellen x, y die obige Gleichung, im Falle der Subtraktion ergibt sich nur die triviale Lo ¨sung x = y, und im Falle der Division erha ¨lt man die Lo ¨sungen x = ±y (x, y = 0). Im vorliegenden Artikel un- tersuchen nun die Autoren die entsprechende Problematik im Falle des Potenzierens. Dabei bestimmen sie insbesondere auch alle positiven, ganzzahligen und rationalen Lo ¨sungen der Gleichung x y = y x . jk