J. DIFFERENTIAL GEOMETRY 14(1979),  317 337 DEFORMATION  THEORY  FOR HOLOMORPHIC FOLIATIONS T. DUCHAMP  & M. KALKA Introduction In this paper we consider deformations of holomorphic foliations on compact  manifolds. By a holomorphic foliation we mean a foliation  given  by local submersionszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA f a :  ί/ α  —> R 2q  which patch together via maps φ aβ : R 2q  —• R 2q ,  which are local biholomorphisms when R 2q  is identified with C 7 . For ^  a holomoφhic foliation on a manifold M, we show that the infinitesimal deformations of ^  correspond to elements of H ι (M, θ <£),  where θ <$  is the sheaf of germs of holomoφhic vector fields on the normal bundle of <$ which are constant on the leaves of < S. For example, if <$ is given  by the fibers of a submersion  onto a complex manifold,  then 9<% is the pull back of the sheaf Θ N  of germs of holomoφhic vector fields on the image. By constructing explicitly a resolution of 9% by an elliptic complex (E£  # , d Q )  we show that H 9 (M, 0$) is finite dimensional. Resolutions of the sheaf of sections of the normal bundle of a C °° foliation which are constant on  leaves have appeared in the works of Hamilton [4], Heitsch [5], Kamber Tondeur [6], Mostow [9] and Vaisman [15]. Also in the case where M is a complex manifold and the submersions^ are holomoφhic, Heitsch has constructed a resolution of the sheaf θ <$  and shown that its cohomology groups are finite dimensional. Our resolution is different from his and applies to the case where M is only a smooth manifold. Of course the general theory of pseudogroup structures on manifolds developed by Spencer [13] applies to the case of holomoφhic foliations on smooth manifolds. However, the relevant pseudogroup is neither elliptic nor complex; hence the Spencer complex associated to such a foliation does not directly lead to finite dimensionality results and the theory of elliptic complexes does not apply to it. Having constructed a resolution of 9^  we then  show how to extend Kuranishi's theorem on the existence of a locally complete finite dimensional holomoφhic family for complex structures close to a given  complex structure, Communicated by L.  Nirenberg,  August 25, 1977, and, in revised form,  June 2, 1978.