• r 1 1 1 l 1 l TÓMOGRAFIA DE MICROONDAS : ALGORITMOS EN COORDENADAS CILINDRICAS J.M. Rius, M. Baquero, J. Romeu, M. Ferrando, L. Jofre, E. de los Reyes, A. Elias Dpto. de Electrofísica, E.T.S.I. Telecomunicaci6n Apartado 30002 - 08080 Barcelona ABSTRACT This paper presents a new and efficient algorithm in cvlindrical coordinates for microwave diffraction tomography. In comparision with algorithms in cártesian coordinates, it does not need mechanical rotation of the object and provides higher quality reconstruction with similar processing time. INTRODUCCION Para aplicaciones biomédicas, la tomografía de microondas presenta sobre la de rayos X la ventaja de no ser una radiaci6n ionizante. En cuanto a algoritmos, también hay importantes di- ferencias entre la tomografía de microondas y la de rayos X: Los algoritmos de reconstrucción para rayos X se basan en el teorema de proyección: La trans formada de Fourier de una proyección en una di-- recci6n dada es igual a un corte en la misma di- rección de la transformada de Fourier bidimensio nal del objeto proyectado. Como los rayos X no se difractan, viajan en linea recta, ·y por tanto los campos medidos en una linea recta paralela a un frente de onda plano incidente después de sar el objeto son proporcionales a la proyecci6n del mismo en una direcci6n perpendicular a la de propagaci6n. Repitiendo el proceso para distintas direcciones obtenemos valores de la transformada de Fourier bidimensional del objeto. Con una in- terpolaci6n podemos hacer la transformada inver- sa y obtener el objeto . [1·j • En tomografía de microondas se produce di- fracci6n, de forma que para un frente de onda plano incidente, la transformada de Fourier de los campos medidos sobre una linea recta parale- la al frente de onda es igual a un cortecircular de la transformada de Fourier bidimensional del objeto. Repitiendo el proceso para distintas di- recciones obtenemos un muestreo no uniforme de la transformada de Fourier bidimensional del ob- jeto en un circulo de radio /2·Ko 111. Sin embargo, para aplicaciones biomédicas una geometría cilíndrica presenta la. ventaja de ser envolvente y por tanto no precisar una rota- ci6n mecánica del objeto. El incoveniente de los algoritmos en coordenadas cilíndricas es la apa- rición de .funciones de Bessel y transformadas de Hankel, que no pueden calcularse numéricamentede forma tan eficiente como las transformadas de Fourier. Sin embargo, puede reducirse el proble- ma fácilmente al caso cartesiano, obteniendo muestras de la transformada de Fourier bidimen- sional del objeto equiespaciadas sobre cortes circulares y pudiendo aplicar la FFT bidimensio- nal para reconstruir el objeto. Como ahora cono- cemos el espectro en un círculo de radio 2 Ko, mayor que en el caso cartesiano, la resoluci6n, y por tanto la calidad, de la imagen obtenida se rá mejor. 1 - v' URSI'86 227 FUNDAMENTOS TEORICOS Sea un objeto de constante dieléctrica E1 y magnética inmerso en un medio de constante dieléctrica Eo. Definimos: o(r)=1-El (r)/Eo (1) También definimos "amplitud de onda difrac- tada por el objeto"l11,121: + + -J'K sr 0 d 2 r (2) donde ljJ(r;§o) es el campo total sobre el objeto (incidente+difractado) cuando incide una onda plana en direcci6n y Ko es el número de onda en el medio que rodea al objeto. Según la aproximaci6n de el campo to- tal es igual al incidente si o(r) << 1 (objeto poco difractante), es decir, 1/J (r)=l/J (i (rl =e-jKo§or ( 3 > En este caso: con O(,)=TF-2D(o(r)) (S) Por -tanto, en estas condiciones es un corte circular de radio Ko centrado en k=§o de la transformada de Fourier bidimensional del objeto (figura 1). Para calcular utilizamos el teore- ma de reciprocidad: f ++ f ++ v JaEb dva = v JbEa dvb a b (6) vb' yajb las corrientes en avb que inducen cam- pos Eb sobre va. Si tenemos una antena emisora-receptora al- rededor del Qbjeto (fig. 2) tomamos va=antena(r) y vb =objeto • Entonces, para campos y corrien- tes perpendiculares al plano de la antena: + J = b corrientes equivalentes sobre el(objeto in- ducidas por el campo incidente 1/J y el campo difractado Eb=l/J (r). corrientes que si existieran sobre la ante- na receptora actuando como transmisora pro- ducirían sobre el objeto una onda plana en direcci6n ! 'K o+- i =e-J (7) a Las el campo corrientes equivalentes inducidas por incidente sobre el objeto son 131: 1 (8) Así, para antena circular y objeto bidimen- sional en el plano de la antena tenemos: f + (s + antena Ia(r)ljJ (r) = ... ff -. 1 - )e-JKo§r d 2 r (9) 0 O 1 O III Symposium Nacional del Comité Español de la URSI