Analysis 16, 405 - 4 1 5 (1996)  Analysis  Γ; R. Oldenbourg VerlagzwvutsrponmlkihgfedcbaY  Mόnchcn 1996  ON SETS OF UNIQUENESS FOR COMPLETELY ADDITIVE ARITHMETIC FUNC- TIONS  Karl-Heinz Indlekofer, Jαnos Fehιr and Lαszlσ L. Stachσ  Received:vusrpnliedJA April 5, 1994 ; revised: June 1, 1996 Abstract.  Given a subgroup H of an abelian group G we deal with the problem to determine all the subsets A C Ν such  that for any completely additive / : Ν —>yvutsrqponmligfedcaHGCA G we have /(Λ) C H whenever f(A) C H. Such sets are called  sets of G///-uniqueness. Here we give a characterization of sets of Z/( <7 Ζ J-uniqueness and G-uniqueness (i.e.  G/{0}-uniqueness), where G is a finite abelian group.  AMS 1991 classification numbers: 11A99, 11B99, 11N64  1. INTRODUCTION  A function / mapping the natural numbers Ν into an abelian group G (with operation +)  is said to be completely additive in case  f(mn) = f(m) + f(n) holds for all m, η  6 Ν.  In an early paper Kαtai [6] introduced the concept ofyvutsrqponmlifedca sets of uniqueness for completely ad- ditive functions. This can be formulated in a more general setting: Given a subgroup Η  of  G, determine all the subsets A C Ν such that for any completely additive / : Ν —• G we  have /(N) C H whenever f(A) C H. By passing to the factor group G/H, the problem  can be reformulated as to describe the sets AC Ν such that any completely additive func- tion vanishing on A must vanish on the whole N. Such sets are called sets of G/H-uniqueness. In case G= R and H = {0}, Wolke [8] and, with a different proof, Indlekofer ([5], Theorem  1) showed that for a set A of R-uniqueness every η € Ν must be expressible as a finite prod- uct of rational powers of elements of A. Theorem 2 of the article [5] by Indlekofer proves  that for Ή = Ζ the sets A of R/Z-uniqueness can be characterized by the property that  every η  6 Ν can be expressed as a finite product of integer powers of elements of A. A more  Brought to you by | University of Pennsylvania Authenticated Download Date | 6/18/15 7:15 AM