manuscripta math. 83, 387 - 404 (1994) manuscripta mathematica Springer-Verlag 1994 Un th4orbme d'annulation la Kawamata-Viehweg" Laurent MANIVEL The vanishing theorem of Kawamata and Viehweg is an important extension of Kodaira's theorem to nef and big line bundles. We extend it to nef vector bundles of arbitrary rank over smooth projective varieties : the hypothesis of a positive self intersection becomes a positivity condition for caracteristic numbers defined by certain Schur polynomials. We derive this condition from an expression of the self-intersection of a line bundle on a relative flag manifold, which provides some insight into the corresponding Gysin morphism. This expression is itself a byproduct of some expansions of the Chern character of symmetric powers, that should be of independant interest. 1 Introduction Le th6or~me d'annulation de Kawamata-Viehweg 4tend au cas des fibr6s en droites alg4briques nef et "big", le th4or~me de Kodaira pour les fibr6s en droites amples. Ce dernier rdsultat admettant pour cons4quence diff6rents th4or&mes d'annulation pour la cohomologie des fibr6s veetoriels amples, se pose tr~s naturellement le probl~me de comprendre comment le th4or~me de Kawamata-Viehweg permet d'annuier des espaces de cohomologie de fibr6s vec- toriels num6riquement effectifs: c'est la raison d'etre de cet article. Les techniques classiques de passage des fibr4s en droites aux fibr4s vec- toriels consistent b. remonter aux vari4t6s de drapeaux associ4es: sur celles-ci vivent des fibr4s en droites dont la cohomologie est reli6e s ceUe du fibr6 vec- toriel consid6r6"par des suites spectrales, de Leray, ou de Borel-Le Potier pour la cohomologie de Dolbeault, que le th4or~me de Bott permet en principe de d4visser. Soit E un fibr6 vectoriel alg6brique de rang r sur une vari6t6 projective lisse X de dimension n. Si s une suite croissante d'entiers allant de z6ro r, on notera FI~(E) la vari4t4 des drapeaux de E de forme s (cf 3.1), et No sa dimension relative sur X. Si, de plus, p est une partition d6croissante de