J.  DIFFERENTIAL GEOMETRY 15 (1980) 531 542 M ALCEVS  COMPLETION  OF A  GROUP AND  DIFFERENTIAL FORMS BOHUMIL CENKL & RICHARD PORTER 1. Let  G  be a finitely generated group,  and let zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT G 2 = (G, G)  be the normal subgroup of G  generated by the commutators (a, b)  = a~ ι b~ ι ab; a,b G G. Inductively we have the sequence of  normal subgroups G Λ+ 1  =  (G, G k ), k  = 1, 2, .. ., G x  = G  of G  and the corresponding tower of  nilpotent groups G/ Gi  < ~  ^7^3 <—*• • •  We assume that none of the groups G/ G k  has an element  of  finite order. Then  we talk about the group G  without torsion. A group § is said to be complete if for any positive integer n and any element g  G § the equation x n =g  has at  least  one solution  in §. For any finitely generated nilpotent group N  without torsion Malcev [4] constructed a complete nilpotent group N  without torsion, called the completion  of N,  and an  injection  of N  into N.  Furthermore he constructed a Lie algebra LN  over the rationals and proved that there is a 11 correspondence between  the complete nilpotent groups without torsion and rational Lie algebras. Thus for any finitely generated group G  without torsion  we have the tower of  Malcev's completions and the tower of  nilpotent rational Lie algebras L G/ G 2 + LG/G 3 ^  , given  by Malcev's theory. We talk about  the Lie algebra LG  of the group G. Each  Lie algebra L G/ G k  can be given  a structure of a group by the Campbell Hausdorf f formula X oy = X +y +l[χ 9 y]  + . . . . This group is isomorphic with G/ G k . On  the other hand the rational homotopy type of the Eilenberg McLane space K(G,  1) is completely determined by a differential graded algebra which  is free with  a decomposable differential and is constructed inductively by the elementary extensions. Such algebras are said to be minimal by Received March 16, 1979. The 1st author was supported in part by the National Science Foundation under NSF MCS77 04945.