HIROSHIMA MATH. J. 5 (1975),  7 15 Certain Results on Nonoscillation and Asymptotic Nature of Delay Equations R. S. DAHIYA and Bhagat  SINGH (Received May 22, 1974) The purpose of this paper is to study the second order delay equation (1) where the following will be assumed throughout this paper unless otherwise specified: (i) zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a(i),f(i), τ(t)  are assumed to be continuous on the whole real line JR, (ϋ) (iϋ) (iv) τ(0>0, τ (t)  is bounded as ί »oo,  0<τ'(ί)<l Our first  result deals with the existence and asymptotic nature of the non oscillatory solutions of equation (1). We call a function on C(T 0 , oo), T o >0 oscillatory if it has arbitrarily large zeros, otherwise we call it nonoscillatory. The term "solution" will only apply to continuous solutions (of equations under consideration)  on some positive half line. The equation (2) y\t) + a{t)y{t) =f(t) has been  very extensively studied. Cohen [2] and Bellman [1] give a very elaborate treatment on this subject. The main problem, however, is created by the presence of the delay term to the point that hitherto known techniques fail to contain  equation (1) (see [4]). We shall use an adaptation of a technique given in  Singh [5] to arrive at the asymptotic nature of the oscillatory solutions of equation  (1). In the third section, it  will be shown that this technique applies to higher order equations. Second section deals with a Lyapunov inequality for a certain class of solu tions of the equation (3) y"(t)+a(t)y τ (t)=O. The classical Lyapunov inequality states that if y(i)  is nontrivial solution of the second order equation