Available online at: http://journal.uny.ac.id/index.php/pythagoras PYTHAGORAS: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika, 17 (1), 2022, 293-307 Copyright © 2022, Pythagoras, Print ISSN: 1978-4538, Online ISSN: 2527-421X Struktur Aljabar Koszul pada Aljabar Lie  , (ℝ) ⋊   (ℝ) Nur Hafizhah 1 , Edi Kurniadi 1* , Ema Carnia 1 1 Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Padjadjaran, Indonesia * Corresponding Author. E-mail: edi.kurniadi@unpad.ac.id ARTICLE INFO ABSTRACT Article History: Received: 28-Mar. 2021 Revised: 01-Aug. 2022 Accepted: 26-Sep.2021 Keywords: Aljabar Lie, aljabar Lie Frobenius, aljabar Koszul. Dalam penelitian ini dipelajari aljabar Lie affine (3) berdimensi 12 yang merupakan jumlah semi langsung dari ruang vektor matriks berukuran 3×1 dan aljabar Lie matriks berukuran 3×3. Tujuan penelitian ini adalah untuk membuktikan eksistensi dan struktur aljabar koszul pada aljabar Lie (3). Aljabar Lie tersebut adalah aljabar Lie Frobenius. Oleh karena itu, terdapat suatu fungsional linear yang mengakibatkan nilai fungsional linear pada matriks strukturnya tidak sama dengan nol. Fungsional linear yang demikian ini disebut fungsional Frobenius. Dalam penelitian ini diberikan juga bagaimana mendapatkan matriks struktur, menghitung determinannya serta memilih fungsional Frobenius yang tepat. Hasil yang diperoleh dalam penelitian ini adalah rumus eksplisit struktur aljabar koszul pada aljabar Lie affine berdimensi 12 melalui induksi pada bentuk simplektik dari fungsional Frobeniusnya. Sebagai bahan diskusi untuk penelitian selanjutnya, hasil yang diperoleh dapat dikembangkan untuk menentukan struktur aljabar koszul pada aljabar Lie affine berdimensi ( + 1). In this research, we study the affine Lie algebra (3) of dimension 12 which is a h is the semi- direct sum of the vector space of a matrix of 3×1 and Lie algebra of a matrix of 3×3. The research aims to prove the existence and structure of koszul algebras on the affine Lie algebra (3). Since its Lie algebra is Frobenius then there exists a linear functional whose values in the matrix structure are not equal to zero. Such a linear functional is called a Frobenius functional. Furthermore, in this study, it is also given how to obtain the structure matrix, to calculate its determinants, and to choose the right Frobenius functional. The results obtained in this study are explicit formulas for the structure of the koszul algebra on 12-dimensional Lie affine algebra through induction in the symplectic form of its Frobenius functional. As a discussion material for further research, the results obtained can be developed to determine the structure of koszul algebra in affine Lie algebra of dimension ( + 1). This is an open access article under the CC-BY-SA license How to Cite: Hafizhah, N., Kurniadi, E., & Carnia, E. (2022). Struktur aljabar koszul pada aljabar Lie  3,1 (ℝ) ⋊  3 (ℝ). Pythagoras: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika, 17(1), 293-307. https://doi.org/10.21831/pythagoras.v17i1.39713 https://doi.org/10.21831/pythagoras.v17i1.39713 PENDAHULUAN Aljabar Lie diperkenalkan pada akhir abad ke-19 oleh Sophus Lie yang merupakan matematikawan asal Norwegia. Secara garis besar, aljabar Lie adalah ruang vektor atas lapangan  yang dilengkapi oleh bracket Lie . Konstruksi aljabar Lie sendiri bisa diperoleh dari grup Lie  dengan menentukan semua left-invariant vektor field- nya. Aljabar Lie  sendiri dapat ditinjau dari jenis-jenis kelasnya seperti kita mengenal adanya aljabar Lie nilpoten, aljabar Lie Frobenius, dan aljabar Lie kontak. Kelas-kelas tersebut tentunya menarik untuk dipelajari baik dari konteks aljabar Lie-nya sendiri atau bersama-sama dengan grup Lie-nya. Di sisi lain, kita juga dapat mempelajari keterkaitan antara kelas aljabar Lie satu dengan lainnya. Sebagai contoh, aljabar Lie Frobenius adalah aljabar Lie yang tidak pernah nilpoten dan bersifat non-unimodular tetapi aljabar Lie Frobenius ini dapat dikonstruksi dari aljabar Lie Heisenberg yang merupakan kelas aljabar Lie nilpoten ( Kurniadi et al., 2021 ). Penelitian-penelitian tentang aljabar Lie sudah banyak dilakukan para peneliti misalnya tentang trigonometri, affine, dan verteks aljabar Lie ( Li & Wang, 2020 ), representasi aljabar Lie khususnya aljabar Lie Heisenberg ( Muraleetharan et al., 2017 ) dan