JOURNAL bF ALGEBRA 140, 344-354 (1991) Caractkrisation spectrale des algebres de Jordan Banach non commutatives complexes modulaires annihilatrices MOHAMED BENSLIMANE Dhparremenr de Mathhnatiques, Faculte des Sciences de Thouan, B.P. 300, Thouan, Morocco ET ANGEL RODRIGUEZ PALACIOS DepartameFzto de Analisis Matematico, Faculrad de Cienciar, UniLlersidad de Granada, Granada 18071, Spain Communicated by Nathan Jacobson Received June 25, 1988 1. INTR~DUC;TI~N: LE c~s ASSOCIATIF Soit A une algebre complexe associative et semi-premiere, A est dite modulaire annihilatrice si pour tout ideal a gauche modulaire maximal A4 de .4, l’annihilateur a droite R(M) = {X E A : MX = 0 > est non nul. Un idempotent e de A est dit complPtement primitifsi eAe est une algebre de division. Le Socle de A, note Sot(A), est l’ideal engendre par l’ensemble des idempotents completement primitifs de A. On montre que A est modulaire annihilatrice ssi A/Sot(A) est une algebre radicale [22, Theoreme 3.41. Soit A une algebre de Banach complexe semi-simple. Un element x de A est dit non essentiel si &J(X) a au plus 0 comme point d’accumulation. Un ideal I de i4 est dit non essentiel si tous seselements le sont. Par exemple, Sot(A) est ci spectre fini (Sp(x) tini, pour tout x E Sot(A)) et par suite Sot(A) est non essentiel; de meme, l’algebre des operateurs compacts sur un espacede Banach est non essentiel. Nous allons, maintenant, donner une demonstration tres simple du resultat suivant: Si A est une algebre de Banach complexe semi-simple non essentiel alors A/Sot(A) est radicale, i.e. A est modulaire annihilatrice. (1.1) 344 0021-8693191 $3.00 Copyright fcJ 1991 by Academic Press. Inc. All rights of reproduction io any form reserved.