УДК 512.624.5 DOI 10.15622/sp.18.2.504-530 А.А. МОЛДОВЯН, Н.А. МОЛДОВЯН НОВЫЕ ФОРМЫ СКРЫТОЙ ЗАДАЧИ ДИСКРЕТНОГО ЛОГАРИФИРОВАНИЯ Молдовян А.А., Молдовян Н.А. Новые формы скрытой задачи дискретного логарифмирования. Аннотация. Предлагаются новые варианты задачи дискретного логарифмирования в скрытой группе, которая представляет интерес для построения постквантовых криптографических протоколов и алгоритмов. Данная задача формулируется над конечными ассоциативными алгебрами с некоммутативной операцией умножения. В известном варианте указанная задача определяется как суперпозиция операций возведения в степень и автоморфного отображения алгебры, представляющей собой конечное некоммутативное кольцо с глобальной двухсторонней единицей, и называется конгруэнц логарифмированием. Ранее было показано, что последняя задача, заданная в конечной алгебре кватернионов, сводится к задаче дискретного логарифмирования в конечном поле, которое является расширением простого поля, над которым задана конечная алгебра кватернионов, и дальнейшие исследования задачи конгруэнц логарифмирования как примитива постквантовых криптосхем следует проводить в направлении поиска новых ее носителей, для которых такое сведение окажется вычислительно нереализуемым. Представлен ряд новых конечных ассоциативных алгебр, обладающих существенно различающимися свойствами в сравнении с алгеброй кватернионов, в частности в них отсутствует глобальная двухсторонняя единица. Это отличие потребовало новой формулировки задачи дискретного логарифмирования в скрытой группе, отличной от варианта конгруэнц логарифмирования. Предложено несколько вариантов такой формулировки, в которых используются локальные единицы различных типов. Рассматриваются левые, правые и двухсторонние локальные единицы, в качестве которых выступают обратимые и необратимые элементы алгебры. Предложены два общих способа построения конечных ассоциативных алгебр с некоммутативным умножением. Первый способ относится к заданию алгебр, имеющих произвольное натуральное значение размерности m > 1, второй  к заданию алгебр произвольных четных размерностей. Впервые разработаны алгоритмы цифровой подписи, основанные на вычислительной трудности задачи дискретного логарифмирования в скрытой группе. Ключевые слова: криптография, шифры с открытым ключом, постквантовые криптосхемы, задача дискретного логарифмирования, конгруэнц логарифмирование, коммутативные шифры, открытое шифрование, цифровая подпись. 1. Введение. Для обеспечения информационной безопасности современных компьютерных технологий широкое практическое применение нашли криптографические алгоритмы и протоколы [1- 2], в том числе двухключевые шифры (криптосхемы с открытым ключом), основанные на вычислительной трудности задачи факто- ризации чисел специального вида [3] и задачи дискретного лога- рифмирования (ЗДЛ) [4]. Приемлемый уровень стойкости крипто- схем, основанных на этих задачах, определяется тем, что наиболее эффективные алгоритмы их решения, известные в настоящее время 504 Труды СПИИРАН. 2019. Том 18 № 2. ISSN 2078-9181 (печ.), ISSN 2078-9599 (онлайн) www.proceedings.spiiras.nw.ru МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА _____________________________________________