Deriva¸ c˜oessobreAn´ eis Polinomiais e os Polinˆ omios de Darboux Derivations on Polynomial Rings and the Darboux Polynomials W´ almisson R´ egis de Almeida UNIFEMM - Centro Universit´ ario de Sete Lagoas, Sete Lagoas, MG walmisson@unifemm.edu.br Marcelo Oliveira Veloso UFSJ - Universidade Federal de S˜ ao Jo˜ ao del-Rei, S˜ ao Jo˜ ao del-Rei, MG veloso@ufsj.edu.br Resumo: Este trabalho ´ e um breve estudo sobre as deriva¸c˜ oes em an´ eis polinomiais e os polinˆ omios de Darboux. Os dois resultados mais relevantes s˜ ao a caracteriza¸c˜ ao dos po- linˆ omios de Darboux lineares de qualquer deriva¸c˜ ao linear em n vari´ aveis e o resultado de que toda deriva¸ c˜ ao homogˆ enea em duas vari´ aveis tem polinˆ omio de Darboux. Palavras-chave: deriva¸c˜ oes; deriva¸ c˜ oes homogˆ eneas; polinˆ omio de Darboux. Abstract: This work is a brief study about derivations in polynomial rings and Darboux polynomials. The two most relevant results are the characterization of the linear Darboux polynomials of any linear derivation in n variables and the result that all homogeneous de- rivation in two variables have Darboux polynomial. Key words: derivations; homogeneous derivation; Darboux polynomial. 1 Introdu¸ c˜ ao Ao ouvir a palavra deriva¸c˜ ao somos imediatamente remetidos ` as ideias de Newton e Leibniz relativas ao estudo de tangentes e taxas de varia¸ c˜ ao instantˆ anea de fun¸c˜ oes. Por´ em, o conceito de deriva¸ c˜ ao abordado neste texto ´ e mais amplo, uma extens˜ ao do operador deriva¸c˜ ao para qualquer estrutura de anel. Contudo, coincide com a derivada ordin´ aria sobre o anel de polinˆ omios em uma vari´ avel. Em um trabalho sobre Equa¸ c˜ oes Diferenciais, em 1878, no artigo “M´ emoire sur les ´ equations diff´ erentielles alg´ ebriques du premier ordre et du premier degr´ e”, o matem´ atico Jean Gaston Darboux introduziu uma nova abordagem algor´ ıtmica para solu¸ c˜ ao de algumas dessas ED’s, na qual surgem os polinˆ omios de Darboux. Esses polinˆ omios apareceram como “peda¸ cos” ou partes dos fatores integrantes para a solu¸c˜ ao de algumas ED’s, como mostrado em [1]: “Paralelamente, Darboux, em 1878, deu os primeiros passos para determinar algoritmicamente integrais primeiras, baseando o seu m´ etodo em uma liga¸ c˜aoen- tre a geometria alg´ ebrica e a busca dessas integrais. Ele mostrou como construir Recebido em 28/09/2016 - Aceito em 03/03/2017 RECEN 19(1) p.08-27 jan/jun 2017 DOI:10.5935/RECEN.2017.01.01