ROSENBERO, J. zyxwvutsrq : General Variation Principles in Evolution Problems of Continuum Mechanics 417 ZAMXI . Z. Angcw. Math. u. Mech. zyxwvutsrqpo 86 zyxwvutsrq (1985) 9, 417 -426 ROSENBERG, J. Allgemeine Variationsprinzipien in den Evolutionsaufgaben der Kontinuumsmechanik und der diskreten mechanischen Systeme zyx In der Arbeit wird eine allgemeine Methode zur Formulierung von Variationsprinzipien fur zyx Evolutionsrandwertprobleme vorgestellt. Diese Methode geht aus der Wahl der Bilinearform als inneres Produkt hervor. Neben der klassischen Bilinear- form wird auch die konvolutorische Form verwendet, deren Einsatz ee erlaubt, Variationsprinzipien zu formulieren, die auch die Anfangsbedingungen enthalten. Die dargelegte Methode wird auf die isotherme Stromung viskoser Fliissigkeiten und auf die Mechanik diskreter mechanischer Systeme angewendet. The study contains a general method of the variation principle formulation for evolutional boundary problems. !Phis method proceeds from the choice of a bilinear form as a scalar product. The bilinear convolutional form was also zy wed besides of the classical integral bilinear one. Its use admits a variation principle formulation containing original con- ditions as well. The given method is applied to ietthermal flow of a vimous liquid and to the mechanics of diacrete mechanical eystems. B pa6o~e npktsegeI1 0614uii MeToH (POPMYJIHPOBKH 3~c~pe~anb~b1~ sapuaquoHnbix n p ~ ~ s H n o ~ gm ~BOJI- mUMoHHbix KpaeBMx aagas. TOT MeToa MCXOHMT zyxwvuts 133 sb160pa 6una~einoB (POPM~I nan cKanrrpHoro npom- seneHun. IXpuMemeTcH, Hapsny c nnaccmecnoB mrrerpanbHoB 6ununeB~oi (Poplrrot, TaKme 6m~net~a~ KoHBmmTopHaH (PopMa. Ee npmeHeme ~O~BOJIH~T (PopMynuposam sapnaquoHHHe npmxqunbi, BHJIIO- qamuIMe Taxme Hasammie YC~OREIH. FIpaBeResebrt4 MeTOH npHnaraeTcH K moTepMwecKoMy TeqeHum BH~KOC~ MIHKOCTH M n MexaHune AacnpeTHbix MexaHmecnux cucTeM. 1. Einlei tung Das Ziel dieses Beitrages ist es, die Anwendung einer allgemeinen Methode, die zuerst in [l] und [2] und dann, in verallgemeinerter Form, in [3] veroffentlicht wurde, auf Rand- und Anfangswertaufgaben zu zeigen. Dabei werden die Evolutionsaufgaben der Kontinuumsmechanik und die der diskreten mechanischen Systeme getrennt behandelt. Grund dafiir sind die beim Ubergang vom Kontinuum zu den diskreten Systemen auftretenden mathematischen Komplikationen, die bei anderer Darstellung die Verwendung von Distributionen erforderlich machten. Als zweckmiiBig hat sich die Verwendung der konvolutorischen Bilinearform erwiesen, da man mit ihr die Klasse der Potentialoperatoren wesentlich erweitern kann ([4], zyxwv [5], IS], [9], 1111, [ 121.) Die entsprechenden Varia- tionsprinzipien konnen vorteilhaft zur numerischen Losung verwendet werden. Dieser Beitrag ist hauptsachlich fur die Ingenieure bestimmt, die oft die Potentiale konkreter Aufgaben kon- struieren mussen. 2. Die allgemeine Methode zur Ableitung der Variationsprinzipien Es seien Q c R3 ein offenes beschriinktes Gebiet mit dem Lipschitz-Rand aSZ und (0, T) c R1 ein Intervall. Auf der AbschlieBung x [0, TI seien die Tensorfunktionen w,=w~(~,x); i=l,2 ,..., N; XEB, t€[O,T], (2.1) definiert. Dabei kann der Rang zyxwvuts q, der Tensoren allgemein verschieden sein. Eigensc haften: Spuroperatoren ein. ES sei U, = [Co([O, TI); Htlnl, n, = 391 bzw. 2q6, ein Raum von Funktionen auf [0, TI x Q mit folgenden a) Fiir ein festes t [0, TI gehort 201 E zyxwvutsrq 771 einem Hilbert-Raum H,"d(D) an. Dabei setzen wir die Existenz der b) Fur ein festes z E Q gehort w, E Ui dem Rauin CO([O, TI) an. c) Fur die Norm in Ut gilt wobei II,wil J(arp die Norm im Raum (HI)"I ist. Es gelten die folgenden im aUgemeinen nichtlinearen Beziehungen At(w) = g& x); i = 1, 2, ... 3 N; z E Q, t E (0, 'T) , (2.2) wobei w = (wl, w,, ... , WN) E U; U = U, X 0, x ... X UN. Ai: U --. Ui sind Differentialoperatoren, die Dual- raume. Der Rand aQ des Gebietes SZ sei in die disjunkten Teilmengen aQo, aSZ13 ... , 80, unterteilt, wobei aSZo eine Menge vom Lebesgues-MaB Null auf aa sei. Auf aQ,, j = 1, 2, ... , M, seien die Randbedingungen (2.3) gegeben, wobei aij : i3 U, -+ a U& die Randoperatoren auf 8 SZ, und gij E a Ug TensorgroBen sind. a Uij sind die Raume der Spuren auf aD,, und es gilt aU, = aUlj x aU2j x ... x 8UNj. aij(w) = gij(t, 2); i = 1,2, ... , N; j = 1,2, ... , M; z E aa, c aQ; t E (0, T) , Des weiteren werden die Anfangsbedingungen durch folgende Beziehungen bestimmt : i = 1, 2, *.. 9 N; ai,M+l(W) = Si,M+l(O, 2); 2 E Q , (2.4)