Les ideaux premiers de anneau des polynömes a valeurs entieres a valeurs entieres Par Jean-Luc Chabert ä Paris Dans la description du spectre de l'anneau des polynömes ä valeurs entieres sur un anneau A deux cas apparaissent : en dimension strictement superieure ä l on utilise la clöture integrale de A tandis qu'en dimension l c'est le complete de A qui intervient. § 0. Introduction En 1919, dans deux articles intitules „Über ganzwertige Polynome in algebraischen Zahlkörpern", Polya [11] et Ostrowski [10] ont aborde l'etude des polynömes P ä coefficients dans un corps de nombres K tels que, pour tout entier algebrique a de K, la valeur P (a) de P en a soit un entier algebrique. Nous avons generalise le probleme de la fagon suivante: soit A un anneau integre quelconque et soit K son corps des fractions, considerons l'ensemble C'est un anneau compris entre A [A] et K[X] 9 qui a ete etudie dans [3], [4], [5], [6] et [7]. Nous nous proposons ici de decrire les ideaux premiers de cet anneau A [_X] sub en fonction des ideaux premiers de A. Apres quelques remarques generales (§ 1), nous supposerons l'anneau A noetherien de fagon ä pouvoir localiser. II s'agit alors de determiner les ideaux premiers de A [X] sub au-dessus de l'ideal maximal m de A. On etudie d'abord le cas ou l'anneau A[X] sub est egal ä A [X\ et ou il est facile de repondre ä notre probleme (§ 2). Puis lorsque la dimension de A est au moins egale ä 2, on decrit le spectre de A \_X] sub ä l'aide de la clöture integrale A' de A (§ 3). On montre ensuite que l'anneau A [X] sub est contenu dans l'anneau <g(Ä 9  Ä) des fonctions continues de Ä dans Ä oü Ä designe le complete de A pour la topologie m-adique (§4) et, en exploitant une idee de Cahen [3], on en deduit certains ideaux premiers de A [JSQ^ (§ 5). Ceci nous permettra de conclure dans le cas restant, celui de la dimension l (§ 6). Les ideaux maximaux de l'anneau des polynömes ä valeurs entieres jouent un röle important dans la notion d'anneau de Skolem etudiee par D. Brizolis [2]. Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 5/28/15 7:03 PM