1 Dalla geometria proiettiva e descrittiva al linguaggio informatico. Procedimenti per la costruzione delle coniche. Francesco DI PAOLA (*), Maria Rita PIZZURRO (**), Pietro PIZZURRO (***). (*)Università degli Studi di Palermo - Dipartimento di Rappresentazione - Facoltà di Ingegneria - Viale delle Scienze (Parco D’orléans) - tel. O917028725, e-mail fdipaola@unipa.it . (**)Università degli Studi di Palermo - Dipartimento di Rappresentazione - Facoltà di Ingegneria - Viale delle Scienze (Parco D’orléans) - tel. O917028723, e-mail mrpizzurro@unipa.it . (***)Università degli Studi di Palermo - Dipartimento di Rappresentazione - Facoltà di Ingegneria - Viale delle Scienze (Parco D’orléans) - tel. O917028722, e-mail pizzurro@unipa.it . Premessa Lo studio si inserisce nell’ambito della ricerca di soluzioni ai problemi della rappresentazione grafica, esponendo considerazioni teoriche che consentono di eseguire costruzioni di coniche con applicazioni proiettive diverse da quelle già note e procedimenti grafici decodificati in linguaggio informatico per implementare comandi CAD. La geometria proiettiva, pur rivelandosi un efficace metodo per il disegno delle quadriche e delle coniche (il teorema di Steiner e Chasles, in particolare, si contraddistingue per il rigore dei suoi processi grafici e per la singolarità formale 1 ) fornisce soluzioni grafiche che ammettono alternative più semplici. Siamo convinti che la padronanza dei concetti di geometria proiettiva consenta la diffusione del linguaggio grafico, promuovendo, a partire dalle metodologie consuete, la ricerca di vie semplificate e offra occasioni di riflessione agli allievi architetti e ingegneri per acuire le loro conoscenze culturali e formative. Riteniamo, altresì, che ogni approfondimento della geometria nel campo del disegno debba essere incoraggiato e divulgato per permettere di comunicare, liberamente e senza limiti, ogni tipo di spazialità geometrica. Anche nel campo del CAD, noi operatori del disegno sentiamo l’esigenza di introdurre, attraverso applicazioni di geometria descrittiva e proiettiva, comandi con nuove funzionalità e processi iterati che permettano e facilitino una corretta rappresentazione delle coniche. Nel presente studio, a titolo esemplificativo, si riporta la traduzione di un algoritmo nel linguaggio di programmazione Lisp della costruzione dell’ellisse noti due diametri coniugati. 1.1. Conica per cinque punti: analisi della metodologia. Premesse tali considerazioni, lo studio in esame intende promuovere un metodo alternativo, sicuramente di più generale applicabilità, per la rappresentazione delle coniche mediante forme proiettive. Per disegnare il contorno apparente di una quadrica - conica di contorno apparente - basta conoscerne cinque punti o, più precisamente, cinque elementi tra punti e tangenti; tutti i punti della conica di contorno apparente si ottengono con la già citata costruzione proiettiva di Steiner e Chasles. Nei diversi metodi di rappresentazione, i cinque elementi della conica, contorno apparente della quadrica, si possono determinare facilmente se di essa si conoscono gli elementi fondamentali (assi, sezioni principali, ecc.). La metodologia tradizionale basata sui fasci proiettivi si realizza, in generale, assumendo, come centri dei due fasci, due punti della conica, come assi di prospettività, due rette corrispondenti passanti per un altro punto della conica e determinando il centro del terzo fascio prospettivo ai primi due 2 ; se tale centro cade fuori dei limiti del foglio di disegno, è risaputo che la costruzione grafica non può essere realizzata. Per ovviare a questi inconvenienti grafici, si propone una nuova soluzione (paragrafo 1.3) nella quale il centro O del terzo fascio, prospettivo ai primi due, cade sempre all’infinito. Nel paragrafo seguente si espone brevemente la determinazione dell’ellisse passante per cinque punti, mediante fasci proiettivi, con procedimenti noti. 1.2 Disegnare un’ellisse passante per cinque punti generici, mediante fasci proiettivi. Assegnati i cinque punti A, B, C, D ed E, della conica - ellisse (di cui tre mai allineati) (Fig. 1), la costruzione grafica, generalmente, si realizza assumendo come centri dei due fasci proiettivi i punti A ed E dai quali si proiettano gli altri tre punti B, C, D, ottenendo le rette b, c, d, e b’, c’, d’ che si corrispondono proiettivamente 3 . A tal fine, bisogna definire il centro O di un fascio prospettivo ai primi due. Si assumono, ad esempio, le rette r e r’ come assi di prospettività coincidenti con le rette c e c’ passanti per il punto C. La retta r’ seziona il fascio di centro A nei punti P’, C e R’ e la retta r seziona il fascio di centro E nei punti P, C e R. Si ottengono due coppie di punti corrispondenti PP’ e RR’ che individuano le rette b* e d* , che si incontrano nel centro O del terzo fascio prospettivo ai primi due. La predetta costruzione implica che proiettando dal centro di prospettività O i punti A ed E, si determinano le tangenti alla conica, e quindi O risulta polo della corda che li congiunge, in quanto “se una conica è generata mediante fasci