PMO v.11, n.3, 2023 ISSN: 2319-023X https://doi.org/10.21711/2319023x2023/pmo1123 Inteiros Gaussianos L´ıdia Charra Alves Renan da Paix˜ao Moura 1 Eleonesio Strey Resumo O presente trabalho tem como objetivo abordar e desenvolver alguns resultados de aritm´etica dos inteiros gaussianos, que s˜ao os n´ umeros complexos cujas partes real e imagin´aria s˜ao inteiras. Dentre os conceitos e resultados abordados, destacamos o Teorema da Divis˜ao, o Teorema da Fatora¸ c˜ao ´ Unica, uma caracteriza¸c˜ao dos primos gaussianos em termos dos n´ umeros primos e uma breve introdu¸c˜ao `a aritm´etica modular nos inteiros gaussianos. Palavras-chave: Inteiros Gaussianos; Divisibilidade em Z[i] ; Primos Gaussianos; Aritm´etica Mo- dular em Z[i] . Abstract This work aims to approach and develop some arithmetic results of Gaussian integers, which are complex numbers whose real and imaginary parts are integers. Among the concepts and results discussed, we highlight the Division Theorem, the Unique Factorization Theorem, a characteriza- tion of Gaussian primes in terms of prime numbers and a brief introduction to modular arithmetic in Gaussian integers. Keywords: Gaussian Integers; Divisibility in Z[i] ; Gaussian Primes; Modular Arithmetic in Z[i] . 1. Introdu¸c˜ao Desde os trabalhos de Gauss muitos pesquisadores tˆem se interessado pelo estudo de an´eis que s˜ao an´alogos ao anel dos inteiros, nos quais os conceitos da aritm´etica tamb´em podem ser desenvolvidos. Dentre eles, destacamos o anel dos inteiros gaussianos, cujo estudo tem origem nas investiga¸ c˜oes de Gauss a respeito das reciprocidades c´ ubica e biquadr´atica. O que torna esse anel interessante ´e o fato de que muitos resultados da aritm´etica nos inteiros gaussianos s˜ao an´alogos aos resultados da aritm´etica nos inteiros e, al´em disso, podem ser ilustrados geometricamente. Para a elabora¸c˜ao deste artigo foram usadas as referˆencias [1], [2], [3], [4], [5], [6], [8]e[9]. Inicialmente, apresentaremos as defini¸ c˜oes de norma e m´ ultiplo, que nos permitir˜ao desenvolver alguns resultados a respeito da divisibilidade no anel dos inteiros gaussianos, tais como o Teorema da Divis˜ao para inteiros gaussianos e algumas de suas interpreta¸c˜oes geom´etricas. Em seguida, traremos a defini¸ c˜ao de primos gaussianos e uma caracteriza¸ c˜ao desses elementos em termos dos n´ umeros primos. Tamb´em traremos o conceito de congruˆencia e uma interpreta¸c˜ao geom´etrica da aritm´etica modular nesse anel. 1 Parcialmente apoiado pelo Instituto Tim e pelo CNPq 104171/2023-5. 361