La congettura di Collatz da un punto di vista elementare - Ardito prof. Nicola Pag.1 La congettura di Collatz da un punto di vista elementare ARDITO Prof. Nicola n.ardito52@gmail.com oppure n_ardito@alice.it BARI – ITALIA Data: 11 dicembre 2024 Astratto Uno tra i problemi di matematica elementare, a tutt’oggi irrisolto, è la congettura di Collatz (dal matematico Lothar Collatz). Essa riguarda la seguente funzione tra numeri naturali: f: N →N N/2 se n è pari f(N)= 3*N+1 se n è dispari Iterando la funzione più volte dopo un certo numero di iterazioni si ottiene il numero 1 e continuando le iterazioni si ha il ciclo 1–4–2–1. Quindi il numero iniziale N, nelle iterazioni successive, viene moltiplicato per 3 (sommando 1) e diviso per 2 per cui è una successione di passaggi dispari (quando si moltiplica per 3 e si aggiunge 1) e di passaggi pari (quando si divide per 2) che, dopo un certo numero totale di passaggi pari bi e un certo numero totale di passaggi dispari ai, converge ad 1 in base alla relazione ∗∗ = dove è il residuo finale che è compreso tra 1,1 ed 1,25 per il riferimento [1] e quindi si avrà ∗ <. In questo articolo viene presentata una nuova congettura equivalente alla congettura canonica di Collatz. Infatti, di seguito la congettura di Collatz da me personalizzata sarà applicata in un modo più veloce considerando solo numeri naturali N modulo 4 e che la successione di questi numeri (dopo un numero iniziale che può essere anche pari mod. 4) si riduce alla successione dei soli numeri dispari ≡ 1 mod. 4 e ≡ 3 mod. 4. Questo modo di procedere porta agli stessi risultati della successione di Collatz canonica. Si indicherà di seguito con ak il totale dei passaggi dispari e con bk il totale dei passaggi pari ottenuti in un certo numero k di iterazioni successive e si indicherà con N[10] il valore del numero N dopo 10 passaggi complessivi sia pari che dispari. Inoltre, si indicherà con il termine “passaggio doppio” il passaggio di N ad ∗+ cioè il passaggio dispari seguito sempre da un passaggio pari. I numeri dispari N ≡ 1 mod. 4 e N ≡ 3 mod. 4 verranno indicati in seguito anche e rispettivamente con N=4*h0 +1 e N=4*h0 +3 ed i loro successivi nella successione di Collatz verranno indicati con N1=4*h1+1 e N1=4*h1+3 ……. Nn=4*hn+1 e Nn=4*hn+3 dove h0, h1, h2,…., hn,… si chiameranno i coefficienti del 4 dei rispettivi numeri dispari N, N1, N2,…..,Nn… ≡ 1 mod. 4 e ≡ 3 mod. 4. Inoltre, chiamerò in seguito tutti i numeri pari N ≡ 0 mod. 4 numeri del tipo 1, tutti i numeri pari N ≡ 2 mod. 4 numeri del tipo 2, tutti i numeri dispari N ≡ 1 mod. 4 numeri del tipo 3 e tutti i numeri dispari N ≡ 3 mod. 4 numeri del tipo 4. 1 Introduzione Nella mia successione di Collatz, personalizzata e più veloce, all’inizio di ogni iterazione si hanno i seguenti 6 casi con numeri mod. 4 diversi tra loro di cui 2 pari e 4 dispari e sono: 1. se il numero iniziale N della successione è pari con N ≡ 0 mod 4 per cui si può scrivere = ∗ ( + ∗ ) per ogni k≥0 e p≥2 numeri naturali e (1+2*k) intero dispari e quindi per la successione di Collatz dopo p passaggi singoli pari, in cui si divide p volte N per 2, porta al numero [] = ( ∗ + ) dispari e quindi ad un numero minore del numero iniziale N. Il numero [] = ( ∗ + ) è 2*k+1 ≡ 1 mod 4 se k è pari mentre è 1+2*k ≡ 3 mod 4 se k è dispari e quindi in questa iterazione iniziale (da N a [] = ( ∗ + )) i passaggi dispari sono a1=0 mentre i passaggi pari sono b1=p (la differenza iniziale tra pari e dispari da zero è aumentata di p unità, cioè b1-a1=p); 2. se il numero iniziale N della successione è pari con N ≡ 2 mod 4 per cui si può scrivere = ∗ ( + ∗ ) + per ogni k≥0 allora il suo successivo nella successione (dopo 1 passaggio pari) è il numero dispari [] = ∗ ( + ∗ ) + = ∗ + il quale è dispari e minore di N e sarà