EL CONCEPTO DE INFINITO: OBSTÁCULO EN EL APRENDIZAJE DE LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 1 Fernando Hitt Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN fhitta@data.net.mx Resumen. El uso sistemático del concepto de infinito potencial se puede encontrar dentro de los diferentes trabajos (filosóficos y matemáticos) producidos por los griegos dentro de la denominada “época de oro” (siglos VI al II a. C.) La idea de infinito potencial surgió de manera natural entre los filósofos de esa época, permitiendo designar la posibilidad de ir más lejos. En cambio, el surgimiento tardío del concepto de infinito actual y su uso sistemático en los trabajos matemáticos se dio hacia el siglo XIX. Ello nos indica que la distinción de estos dos conceptos fue posible después de un desarrollo de la filosofía y de la matemática durante varios siglos, mostrando que dicha distinción requiere haber franqueado un obstáculo cognitivo. Para adquirir el concepto de límite no es suficiente con dominar procesos algorítmicos asociados al mismo, se requiere además, de traspasar el obstáculo que no permite distinguir el concepto de infinito potencial y actual en su uso coherente en las actividades matemáticas propias de los procesos infinitos. ¿Podría uno esperar que ese obstáculo de corte epistemológico se presentara entre los estudiantes? ¿Entre los profesores de matemáticas de enseñanza media y superior? Desarrollo de una Idea Matemática Uno de los primeros problemas en la transformación de la matemática en una ciencia deductiva fue el precisar el concepto de infinito. Los filósofos griegos tuvieron que enfrentar la problemática de entender los procesos infinitos para poder desarrollar la matemática en una ciencia deductiva. Existen evidencias con respecto a lo complejo en la asimilación del concepto de infinito en la “época de oro de los griegos”. Zenón de Elea fue de los primeros en señalar inconsistencias en el uso del infinito dentro de la matemática griega. Son famosas las paradojas de Zenón en donde muestra que cierta concepción del infinito puede producir contradicciones, por ejemplo, “La mitad del tiempo es igual a su doble”. Las paradojas de Zenón parece que no fueron entendidas, y la argumentación de Aristóteles y el axioma de Euclides en sus “Elementos”: “El todo es mayor que sus partes”, intentaban dar por terminada la discusión promovida por Zenón. Otra de sus paradojas, la relativa a Aquiles y la Tortuga también está ligada a la distinción entre el infinito potencial y el actual, “Aquiles no alcanzará a la tortuga pues para eso tendría que pasar por una infinidad de puntos”, para concebir el hecho de que Aquiles alcance a la tortuga debemos pensar en otra idea de infinito: “El infinito actual es la toma de conciencia simultánea de todos los elementos de un conjunto infinito”. La idea de infinito potencial (designando la posibilidad de ir más lejos, continuación indefinida,...) siendo 1 En Filloy E., Hitt F., Imaz C., Rivera F. y Ursini S. (Eds, 2003). Matemática Educativa: Aspectos de la Investigación Actual. Fondo de Cultura Económica. México, pp. 91-111.