Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica Pure ed Applicata Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Laurea Specialistica in Matematica Relatore: Professore Luca Barbieri-Viale Homotopy theory of schemes and A 1 -fundamental groups Utsav Choudhury June 2008