UNA INTRODUCCI ´ ON AL AN ´ ALISIS CATEGORISTA DE LA L ´ OGICA LUIS ESTRADA GONZ ´ ALEZ 1,2 1 FACULTAD DE HUMANIDADES, UNIVERSIDAD AUT ´ ONOMA DEL ESTADO DE MORELOS 2 DEPARTAMENTO DE FILOSOF ´ IA, UNIVERSIDAD DE TARTU (ESTONIA) Resumen. En este cap´ ıtulo ofrezco una introducci´ on panor´amica al an´ alisis categorista de la l´ogica. Presento la definici´on de topos enfatizando su axioma de comprehensi´ on y describo su l´ ogica interna para, finalmente, examinar al- gunas relaciones de la teor´ ıa de topos con la teor´ ıa de conjuntos en el proyecto de dar una fundamentaci´ on conjuntista de la matem´ atica. 1. Introducci´ on Este cap´ ıtulo est´a pensado como una introducci´on panor´amica al an´ alisis cate- gorista de la l´ ogica que sirva tanto al l´ ogico de orientaci´on matem´ atica como al de orientaci´on filos´ ofica, as´ ı como al lector interesado en los fundamentos de la matem´ atica que quiera conocer los rudimentos de la propuesta categorista. Podr´ ıa decirse, parafraseando a un antiguo profesor, que este texto trata de lo que tiene que saber de teor´ ıa de categor´ ıas un l´ ogico educado. No se cuenta en espa˜ nol con un texto semejante, mientras que el texto m´as conocido en ingl´ es, [11], tiene serias deficiencias conceptuales y filos´ oficas que han sido bien documentadas en [18]. Presupongo que el lector est´a familiarizado con los elementos de ´ algebra y teor´ ıa del orden, as´ ı como que conoce la notaci´ on l´ ogica y los rudimentos de l´ ogica cl´ asica e intuicionista. Dicho esto, el plan del cap´ ıtulo es como sigue. En la segunda secci´ on presento algunas nociones b´ asicas de teor´ ıa de categor´ ıas necesarias para el resto del cap´ ıtulo; otras nociones que, aunque necesarias para la exposici´ on pero que no se repiten tan frecuentemente, son definidas en el lugar donde aparecen por primera vez. En la tercera secci´ on defino la noci´ on de topos, enfatizando en el axioma de comprehensi´on, uno de sus componentes principales. En la cuarta secci´ on describo la l´ ogica interna de un topos, incluyendo aspectos modelo-te´oricos y de teor´ ıa de pruebas. Finalmente, en la quinta secci´ on discuto la relaci´ on de la teor´ ıa de topos con la teor´ ıa de conjuntos y examino algunas cuestiones m´as generales relacionadas con una fundamentaci´on conjuntista de la matem´ atica. 2. Nociones b´ asicas de teor´ ıa de categor´ ıas Una categor´ ıa C consta de una colecci´on de objetos y una de morfismos que satisfacen las siguientes condiciones: Dedico este texto a quienes han cuestionado las reglas por mor del avance intelectual y han sufrido por ello, as´ ı como a quienes han sido v´ ıctimas de fraude. Agradezco a Axel Barcel´o Aspeitia, Carlos C´ esar Jim´ enez, Ivonne Pallares Vega, Carlos Alberto Romero Castillo y un dictaminador an´onimo sus gentiles comentarios a una versi´on previa de este texto. 1