Application de l’ACP par intervalles au diagnostic Jos´e RAGOT † , Gilles MOUROT † , Anissa BEN AICHA * et Kamel BENOTHMAN ‡ * ATSI - ENIM. Rue Ibn Eljazzar, 5000 Monastir, Email : ben.aicha anissa@yahoo.fr † CRAN, UMR 7039, Nancy Universit´e, CNRS. 2, avenue de la Forˆet de Haye. 54516 Vandœuvre-L`es Nancy, Email : {gilles.mourot,jose.ragot}@ensem.inpl-nancy.fr ‡ LARA Automatique - ENIT. P 37, le Belv´ed`ere, 1002 Tunis, Email : kamel.benothman@yahoo.fr R´esum´e —Ce travail propose une nouvelle m´ethode d’ex- tension de l’ACP `a des donn´ees de type intervalle. Le mod`ele ainsi obtenu est un mod`ele ACP par intervalle. L’application de l’ACP intervalle au diagnostic sera ´egalement pr´esent´ee. Cette nouvelle m´ethode a ´et´e valid´ee par un exemple de simulation. Index Terms —valeurs propres intervalles, vecteurs propres intervalles, mod`ele ACP intervalle, g´en´eration de r´esidus, d´etection de d´efauts, reconstruction de variables. I. Introduction L’analyse en composantes principales (ACP) est une tech- nique largement utilis´ee pour la d´etection et la localisation de d´efauts de capteurs [?], [?], [?], [?] et plus g´en´eralement pour la d´etection d’informations aberrantes. L’ACP permet d’´elaborer implicitement un mod`ele du syst`eme et de r´ev´eler des relations lin´eaires entre ses variables sans les formuler explicitement ; ce mod`ele peut ensuite ˆetre utilis´e afin de surveiller le comporte- ment du syst`eme ou de ses composants [?]. D’un point de vue technique, l’identification d’un mod`ele ACP consiste `a estimer sa structure et ses param`etres par une d´ecomposition en valeurs et vecteurs propres de la matrice de covariance des donn´ees. G´en´eralement, l’analyse des valeurs propres r´ev`ele le nombre de composantes principales `a retenir c’est-`a-dire finalement la dimension du nouvel espace de repr´e- sentation des donn´ees. Une fois le mod`ele ACP obtenu `a partir de donn´ees r´eput´ees saines collect´ees sur un syst`eme dans un ´etat de fonctionne- ment normal, la d´etection de d´efauts sur de nouvelles donn´ees est alors r´ealis´ee par g´en´eration d’indicateurs encore appel´es r´esidus en comparant le comportement observ´e`a celui donn´e par le mod`ele ACP. Classiquement, la localisation des variables d´efaillantes est effectu´ee soit par calcul des contributions des variables `a l’indicateur de d´etection, soit par structuration des r´esidus. La m´ethode dite des contributions, bas´ee sur une approximation de la contribution d’une variable `a l’indicateur de d´etection, s’av`ere souvent sensible aux points de fonction- nement du syst`eme [?]. La structuration des r´esidus consiste `a g´en´erer de nouveaux r´esidus sensibles uniquement `a des sous- ensembles particuliers de d´efauts. Sous certaines conditions structurelles, l’analyse de ces diff´erents r´esidus permet ainsi de localiser l’ensemble des variables d´efaillantes [?]. Les travaux dans le domaine de l’ACP sont g´en´eralement effectu´es dans le cadre des variables monovalu´ees (les donn´ees ont des valeurs uniques). Cependant, dans des situations r´eelles, l’utilisation des variables monovalu´ees r´esulte d’une simplifi- cation et peut causer une perte importante d’information [?]. La technique de diagnostic utilisant l’ACP peut ˆetre ´etendue `a des donn´ees d´ecrites par des variables multivalu´ees permet- tant ainsi de prendre en compte les notions d’impr´ecision, de variations et d’intervalles de confiance des donn´ees. Plusieurs m´ethodes ont ´et´e propos´ees permettant la g´en´era- lisation de l’ACP `a un ensemble de donn´ees de type intervalle. Parmi ces m´ethodes on peut noter la m´ethode des sommets propos´ee par Cazes et al [?], la m´ethode des Centres propos´ee par Cazes et al. [?]. Cette g´en´eralisation doit tout d’abord assurer les fonctions principales d’une ACP classique c’est-`a- dire la r´eduction de dimension et l’extraction de la structure principale des objets. De plus, elle doit restituer l’information de variation ou d’impr´ecision introduite par ces variables [?]. Les r´esultats fournis par l’ACP g´en´eralis´ee doivent co¨ıncider avec ceux issus de l’ACP classique. Cependant, jusqu’`a pr´esent, ces m´ethodes ne sont pas appliqu´ees aux proc´edures de diag- nostic. Cette communication propose une m´ethode de calcul du mod`ele ACP intervalle en prenant en compte les erreurs born´ees affectant les mesures effectu´ees sur un syst`eme. L’application de ce mod`ele intervalle pour la d´etection et la localisation de d´efaut sera ´egalement pr´esent´ee. II. Formulation de l’ACP intervalle Consid´erons le vecteur des mesures recueillies sur le syst`eme en fonctionnement normal en absence de d´efauts et de bruits de mesure `a l’instant k : x ∗ (k)=(x ∗ 1 (k) x ∗ 2 (k) ... x ∗ m (k)) T (1) La matrice de donn´ees X ∗ ∈ R N×m form´ee par la concat´e- nation des vecteurs x ∗ (k) obtenus `a diff´erents instants est : X ∗ = ( x ∗ (1) ··· x ∗ (N ) ) T (2) On peut bien ´evidemment construire le mod`ele ACP du syst`eme `a partir de ces donn´ees id´eales. Il est cependant plus r´ealiste d’effectuer cette synth`ese en prenant en compte les erreurs, ici born´ees, affectant les mesures. On se propose donc de chercher le lien existant entre le mod`ele ACP ´etabli `a partir de donn´ees exemptes de bruits et le mod`ele ACP ´etabli `a partir de ces donn´ees corrompues par des bruits. Pour cela, on ´etablit un lien entre les vecteurs propres des matrices de variance-covariance ´evalu´ees `a partir des donn´ees avec et sans bruit. Ce lien peut ˆetre ´etabli de fa¸con exp´erimentale en examinant et en quantifiant num´eriquement l’influence de perturbations δX sur les vecteurs propres de la matrice de variance-covariance des donn´ees, ces perturbations pouvant ˆetre g´en´er´ees de fa¸con al´eatoire. Ce lien peut aussi ˆetre ´etabli de fa¸con plus analytique par une ´etude de sensibilit´e au premier ordre des vecteurs propres de la matrice de variance-covariance vis-`a-vis des va- riations δX. Pour ´etablir cette analyse de sensibilit´e, consid´erons les variations δX que la matrice des donn´ees X ∗ subit. La nouvelle matrice des donn´ees s’´ecrit : X = X ∗ + δX (3)