Analyse morphologique et mutationnelle : Outils pour la morphogen`ese Jean-Pierre Aubin et Annick Lesne R´eseau de Recherche Viabilit´e, Jeux, Contrˆole 1 Objectifs La morphogen`ese traite de l’´evolution de formes, qui sont d’abord des ensembles 1 . Par suite, leur ´evolution, leur r´egulation (contrˆole visuel), leur analyse, leur traitement (lorsque les formes sont des images) et/ou leur optimisation exigent naturellement une analyse intrins`eque au niveau des ensembles, qui a motiv´e le d´eveloppement r´ecent de l’analyse multivoque 2 (voir [8, Aubin & Frankowska] et [32, Rockafellar & Wets]) et celui encore plus r´ecent de l’analyse morphologique et mutationnelle (voir [5, Aubin] et [7, Aubin, Bayen, Bonneuil & Saint-Pierre]) dont il va ˆetre question dans ce chapitre. 1 Johann von Goethe (1749-1832) L’adjectif morphologique a´et´e cr´e´e par Goethe (1749-1832), qui a ´egalement utilis´e ses nombreux talents en biologie. Il a propos´e dans l’essai [19, Goethe] publi´e en 1790 une audacieuse hypoth`ese unificatrice exposant que la plupart des principales formes botaniques ont ´evolu´e` a partir d’une plante arch´etypique (Urpflanze). Goethe a annonc´e l’ouvrage [39, Thompson (sir d’Arcy)]) du fondateur de la morphogen`ese, Thompson (1860-1948). Il fut tr`es amer de constater que ses travaux scientifiques n’attiraient pas l’attention et n’´etaient pas pris au s´erieux (sauf par Isidore Geoffroy Saint-Hilaire) : Il se plaignait que “... Le public ... s’attend `a ce qu’une personne qui s’est distingu´ee dans un domaine ... ne puisse l’abandonner, et encore moins s’aventurer dans un domaine qui n’a aucun rapport. Que quelqu’un tente cette exp´erience, aucune reconnaissance lui sera accord´ee ; en effet, mˆeme si la tˆache est bien men´ee, il n’en recevra aucun ´eloge” . Il ajoutait dans ses Maximen und Reflexionen ` a propos des math´ematiques : Les math´ematiciens sont comme les Fran¸cais : Quoi que vous leur disiez, ils le traduisent dans leur propre langue, et alors, cela devient quelque chose de compl`etement diff´erent. La morphogen`ese est un d´efi pour les math´ematiciens car les syst`emes ´evolutionnaires avec lesquels ils sont familiers ´etudient l’´evolution des vecteurs, ou des fonctions, gouvern´ees par des ´equations diff´erentielles ou aux d´eriv´ees partielles, alors que l’objet de la morphogen`ese traite de l’´evolution de formes, c’est-`a- dire de sous-ensembles quelconques, qui ne sont pas n´ecessairement r´eguliers. Depuis Husserl, les formes sont des structures plus riches que les ensembles : elles sont form´ees d’ensembles qualifi´es de substrats sur lesquels sont d´efinies des fonctions perceptives d´ecrivant leurs qualit´es sensibles : elles sont munies d’accidents morphologiques, d´ecrivant les singularit´es des fonctions perceptives. Je renvoie aux ouvrages de Thom ([37, 38, Thom]), de Petitot ([29, 30, 31, Petitot]) et de leurs collaborateurs, ainsi qu’au chapitre XX de ce livre qui les r´esume, ceux des lecteurs int´eress´es par le programme de “morphodynamique” inspir´e de la th´eorie des singularit´es et des catastrophes et d´edi´e`a ces structures d´eploy´ees dans un espace-temps 3 . Ce n’est pas non plus le lieu de mentionner en d´etail les innombrables travaux sur le traitement math´ematique 1 Au sens math´ematique du terme ... 2 Par opposition ` a l’analyse “univoque” d’applications (univoques), l’analyse multivoque traite de la continuit´e, du calcul diff´erentiel et int´egral des correspondances (applications multivoques), associant ` a tout ´el´ement d’un espace de d´epart un sous-ensemble (´eventuellement vide) de l’espace d’arriv´ee. 3 Pour les lecteurs familiers de la th´eorie de la viabilit´e, il est int´eressant de noter que ce programme pourrait int´egrer des travaux concernant le principe d’inertie en th´eorie de la viabilit´e, lui aussi fournisseur de discontinuit´es des param`etres, les niches 1