Reconstrução a Partir de Pontos Não Organizados Utilizando Funções de Morse Discretas Helton Hideraldo Bíscaro, Antonio Castelo Filho, Luis Gustavo Nonato Depto de Ciências de Computação e Estatística, ICMC, USP, Av. do Trabalhador São-Carlense, 400 - Centro - Cx. Postal 668 São Carlos - São Paulo - Brasil CEP 13560-970 E-mail: helton@icmc.usp.br, castelo@icmc.usp.br, gnonato@icmc.usp.br, O problema de se obter uma aproximação poliedral a partir de amostras de uma superfície tem sido foco de recente pesquisa em modelagem geométrica e tem se mostrado útil em diversas apli- cações, tais como geração de malhas para simu- lações de escoamento de fluídos em domínios com- plexos, visualização de complexos conjuntos de da- dos e muitas outras. Este problema também é conhecido na literatura, como o problema de re- construção a partir de nuvem de pontos. Apesar dos resultados teóricos alcançados [1, 2, 3, 4, 5, 6], pouco tem sido feito no sentido de supe- rar as dificuldades geométricas presentes em quase todas as técnicas de reconstrução. Além de pos- suir um alto custo computacional, os cálculos ge- ométricos tornam os algoritmos menos confiáveis, ou até mesmo inviáveis em aplicações que lidam com grandes conjuntos de dados. Neste trabalho, apresentamos uma nova técnica de reconstrução a partir de pontos não organizados a qual reduz drasticamente o número de cálculos geométricos. De fato, testes geométricos são rea- lizados apenas nos passos iniciais, como na trian- gulação de Delaunay. Baseado em teoria de Morse discreta [7, 8], o algoritmo usa conceitos topológicos para decidir quais simplexos pertencem à aproxi- mação do objeto. Um campo gradiente discreto, que deriva da função de Morse discreta definida so- bre o complexo simplicial gerado pela triangulação de Delaunay, permite que os simplexos corretos se- jam capturados de maneira eficiente. A figura 1 mostra um exemplo de reconstrução de um cavalo a partir de uma nuvem de pontos. a) b) Figura 1: Reconstrução do Cavalo: a) Nuvem de pontos; b) Superfície gerada pelo nosso algoritmo É claro que nenhuma abordagem consegue re- construir qualquer modelo a partir de qualquer con- junto de amostras. As abordagens mais confiáveis dão garantias teóricas de que, sob determinada taxa de amostragem, o objeto original é corretamente reconstruído. Assim como elas, nossa abordagem também assegura a reconstrução correta sob uma adequada taxa de amostragem. Referências [1] Amenta N., Bern M., and Eppstein D. - The Crust and Theβ-skeleton: Combinatorial Curve Reconstruction. Graphical Models and Image Processing, 60(2):125—135, 1997. [2] Amenta N., Bern M., and Kamvysselis M. - A new Voronoi-based surface reconstruction algo- rithm. Proc. SIGGRAPH’98, pp. 415—412, 1998. [3] Amenta N. and Bern M. - Surface reconstruc- tion by Voronoi filtering. Discrete Comp. Ge- om., 22(4):481—504, 1999. [4] N. Amenta and S. Choi. One-pass Delaunay fil- tering for homeomorphic 3D surface reconstruc- tion. Manuscrito, 1999. [5] N. Amenta, S. Choi, T. K. Dey and N. Leekha. A simple algorithm for homeomorphic surface reconstruction. 16th ACM Sympos. Comput. Geom., 2000. [6] Amenta N., Choi S.H, and Kolluri R.K. - The Power Crust 2000. Computational Geome- try: Theory and Applications, 19(2-3):127—153, 2001. [7] Forman R. - Morse theory for cell complexes. Advances in Mathematics, 134(1):90—145, 1998. [8] Forman R. - A user’s guide to discrete Morse Theory. Séminaire Lotharingien de Combina- toire (article B48c), 48, 2002.