Estimando Expoentes de Lyapunov Através de Dinâmicas Clonadas e sua Aplicação em um Modelo Neuronal Não-suave Diogo, C. Soriano, Ricardo Suyama, Filipe, I. Fazanaro, Marconi, K. Madri, Romis Attux Departamento de Engenharia de Computação e Automação Industrial (DCA) Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação (FEEC) Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) Caixa Postal 6101, CEP 13083-970 – Campinas, SP, Brasil {soriano, attux}@dca.fee.unicamp.br Abstract – This work presents a new algorithm to evaluate Lyapunov exponents based on local divergence of nearby orbits in the phase space. The proposed method is based on state difference vectors estimated by infinitesimal disturbed copies (clones) of the original dynamics, which does not requires the linearized version of the state equations, and therefore, can be applied to non- smooth systems. Some numerical experiments illustrating the equivalence to the classical approach for evaluating Lyapunov exponents are presented, and an application of the developed method to non-smooth neuronal model is also provided. Keywords – chaos, Lyapunov exponents, non-smooth systems. 1. Introdução Sistemas dinâmicos podem ser vistos como um mapeamento de estados usualmente descrito por um conjunto de equações diferenciais. Quando tal mapeamento apresenta funções não-lineares das respectivas variáveis de estado, um rico cenário de comportamentos oscilatórios é possível, o que inclui convergência para soluções estacionárias (pontos fixos), estados periódicos (ciclos-limite), quase-periodicidade (soluções na superfície de um toro) e caos (atratores estranhos) [1]. Em particular, o comportamento caótico apresenta características oscilatórias singulares, tais como aperiodicidade e taxa de divergência exponencial em relação a trajetórias inicialmente vizinhas no espaço de estados (taxas estas quantificadas na forma dos chamados expoentes de Lyapunov). De fato, dinâmicas caóticas possuem pelo menos um expoente de Lyapunov positivo, ou seja, pelo menos uma direção expansiva no espaço de fase, sendo a quantificação desta grandeza de fundamental importância para caracterizar o próprio horizonte de previsibilidade do sistema dinâmico, uma vez que é impossível conhecer o estado inicial de um sistema com precisão infinita [1,2]. Geometricamente, a sensibilidade em relação às condições iniciais corresponde à degeneração de uma hiper-esfera de raio δ o (t 0 ) de condições iniciais em um hiper-elipsóide com eixos principais δ i (t) devido às deformações introduzidas pelas próprias aplicações das equações de estados, descorrelacionando estados iniciais próximos. Assim, dado um sistema dinâmico n-dimensional descrito por , define-se o i-ésimo expoente (λ i ) de Lyapunov em termos da evolução por um tempo t dos comprimentos dos eixos δ i (t) deste elipsóide a partir de um ponto x 0 em t 0 perturbado de δ 0 em cada uma das direções do espaço de estados, o que analiticamente pode ser descrito como [1-5]: ) , ( t x F x        0 0 0 t t i i e t t         (1) O procedimento clássico de estimativa destes expoentes a partir das equações de estado consiste na construção de um espaço tangente subjacente à dinâmica, o que permite avaliar a evolução da magnitude de uma perturbação inicialmente infinitesimal. Neste cenário, este trabalho tem como objetivo apresentar um método alternativo para estimar todos os expoentes de Lyapunov que contorna certas limitações do procedimento usual de cálculo. O algoritmo aqui proposto consiste em avaliar a taxa média de divergência local a partir cópias (clones) perturbadas da dinâmica juntamente com os devidos métodos de correção numérica presentes na abordagem clássica de cálculo. A principal vantagem da técnica introduzida é a não exigência da linearização das equações de estado, o que permite sua utilização em dinâmicas não-suaves (descontínuas). A aplicabilidade do método em sistemas não- diferenciáveis é ilustrada para o modelo neuronal de FitzHugh-Nagumo [6] perturbado com pulsos retangulares, permitindo estudar a estabilidade oscilatória, bem como os comportamentos complexos em modelos biológicos até então de difícil abordagem pelos métodos convencionais.