Uma Aplicação do Método dos Mínimos Quadrados Caroline Viezel 1 , Gilcilene Sanchez de Paulo 2 , José Roberto Nogueira 3 Departamento de Matemática, Estatística e Computação, FCT, UNESP 19.060-900, Presidente Prudente, SP 1. Bolsista de Iniciação Científica da UNESP/Prope, caroline_viezel@hotmail.com , 2. Professora orientadora, gilcilene@fct.unesp.br , 3. Professor envolvido, jrnog@fct.unesp.br 1. Introdução O peru é um prato tradicional da culinária natalina tanto na América quanto na Europa, e a criação desta ave em grande escala requer atenção especial no custo final para que o criador não tenha prejuízos. Devido a esse fato, muitos criadores desenvolvem estratégias para maximizar o peso da ave e minimizar os gastos necessários para sua criação. Em particular o peso ideal de abate desta ave deve ser escolhido criteriosamente para que o criador não perca dinheiro alimentando uma ave que já não satisfaz mais a relação custo-benefício. Este trabalho propõe o uso de modelagem matemática para determinar o tempo ideal de abate de perus, em particular as fêmeas, utilizando uma tabela de dados discretos de uma agropecuária de Santa Catariana, a qual relaciona tempo de confinamento (em semanas), aumento de peso das fêmeas (em gramas) e quantidade de ração consumida (em gramas) (ver Tabela 1). Como é conhecido apenas um conjunto finito e discreto de pontos de um intervalo deseja-se construir uma expressão matemática que retrate o mais fielmente possível os dados da tabela e que, além disso, possa revelar as tendências do conjunto contínuo. A metodologia utilizada para determinar o modelo matemático é a teoria dos Métodos de Aproximação. Por estes dados serem experimentais, o método mais apropriado, e escolhido aqui para determinar a função aproximadora é o Método dos Mínimos Quadrados. Neste trabalho, num primeiro momento, será considerada apenas a variação da massa do peru de acordo com o tempo de confinamento. Tabela 1: Massa e consumo de ração das fêmeas de perus nas primeiras 18 semanas. Idade Massa Consumo de ração Idade Massa Consumo de ração 1 107 104 10 4194 1568 2 222 230 11 4870 1710 3 423 340 12 5519 1957 4 665 470 13 6141 1969 5 971 700 14 6732 2093 6 1466 922 15 7290 2115 7 2079 1146 16 7813 2165 8 2745 1270 17 8299 2160 9 3495 1396 18 8744 2180 Fonte: Dados de uma agropecuária de Santa Catarina. 2. Modelagem Matemática utilizando o Método dos Mínimos Quadrados Diante desses dados discretos vamos construir uma expressão matemática () mt , que revele a massa de um peru em um determinado tempo de um intervalo contínuo utilizando o Método dos Mínimos Quadrados. Seja 4 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 0 () () () () () () () k k k mt am t am t am t am t am t am t = = = + + + + ∑ , sendo 0 () 1 m t = , 1 () mt t = , 2 2 () m t t = , 3 3 () m t t = e 4 4 () m t t = . Esta escolha se baseia no fato de que, o comportamento dos pontos discretos da tabela em um sistema cartesiano que relaciona o tempo e o ganho de massa dos perus é similar ao comportamento de uma função polinomial de grau 4 (ver Figura 1). Além disto, uma função com estas características facilitará muito no teste a ser realizado para verificar a veracidade do modelo obtido. Portanto, a obtenção da função 2 3 4 0 1 2 3 4 () mt a at at at at = + + + + , pelo método dos mínimos quadrados, consiste em determinar 0 1 2 3 , , , a a a a e 4 a que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos nos pontos i t , 1,...,18 i = , ou seja, consiste em determinar 0 1 2 3 , , , a a a a e 4 a que minimizam a função 18 18 2 2 1 1 ( ( )) ( () ( )) i i i i i rt Mt mt = = = - ∑ ∑ , onde o resíduo () () () i i i rt Mt mt = - , com () i Mt a massa no tempo i t dada na Tabela 1 e, () i mt a massa no tempo i t dada pela função aproximadora () mt a ser obtida. Utilizando