XXXI SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES – SBrT’13, 1-4 DE SETEMBRO DE 2013, FORTALEZA, CE Uma Representação Kotel’nikov para Wavelets e Bancos de Filtros sem Superposição Espectral H. M. de Oliveira, R. J. Cintra, R. C. de Oliveira Resumo—Neste artigo apresenta-se uma representação para wavelets usando sinais em banda básica, explorando resultados de Kotel’nikov. Detalhes de como obter os processos de envoltória e de fase em baixa frequência são apresentados. A interpretação clássica de wavelets como uma análise com banco de filtros de fator de qualidade constante é revisitada nestas bases. Mostra-se que se o suporte espectral da wavelet é limitado na banda [f m ,f M ], então uma análise ortogonal é garantida provido que f M ≤3f m , um resultado simples, porém que invoca um paralelo com a taxa de Nyquist. Contudo, para espectro de wavelets ortogonais que não verificam esta condição, mostra-se como construir um banco de filtros “equivalente” sem superposição espectral. Palavras-Chave—wavelets, banco de filtros Q-constante, wavelets ortogonais, representação passa-faixa para wavelets. Abstract— This paper presents a wavelet representation using baseband signals, by exploiting Kotel’nikov results. Details of how to obtain the processes of envelope and phase at low frequency are shown. The archetypal interpretation of wavelets as an analysis with a filter bank of constant quality factor is revisited on these bases. It is shown that if the wavelet spectral support is limited into the band [f m ,f M ], then an orthogonal analysis is guaranteed provided that f M ≤3f m , a quite simple result, but that invokes some parallel with the Nyquist rate. Nevertheless, in cases where the spectrum of orthogonal wavelets does not verify this condition, it is shown how to construct an "equivalent" filter bank with no spectral overlapping. Keywords—wavelets, constant-Q filter bank, orthogonal wavelets, bandpass representation for wavelets. I. INTRODUÇÃO Wavelets e a análise de multirresolução de Mallat já se tornaram ferramentas consagradas na análise de sinais, principalmente por fornecer um processamento mais eficiente, e com a disponibilização crescente de novas técnicas [1], [2]. Uma das interpretações usuais para introduzi-las é o emprego de banco de filtros com Q-constante, de fácil compreensão [3]. Adicionalmente, o comportamento passa-faixa das wavelets é uma das características largamente reconhecidas [2]. Em sistemas de comunicação e em modelos de ruído [4], [5], uma das representações mais relevantes e mais utilizadas é a representação passa-banda [6], envolvendo um sinal em banda básica modulado. Como a condição de admissibilidade de wavelets, Ψ, impõe um zero na origem do espectro, i.e., Ψ0=0, estes sinais são reconhecidamente passa-faixa. Como aplicar as representações passa-faixa usuais em Telecomunicações para wavelets? Este é um dos focos deste artigo. Neste contexto, resgata-se o seguinte teorema por Kotel’nikov. Teorema (Kotel’nikov, 1933). Se um sinal f(t) tem um espectro confinado na banda [w 1 ,w 2 ], então existe um representação . , sendo e processos de baixa-frequência, limitados em 0, Este resultado foi demonstrado no artigo pioneiro da demonstração do teorema da amostragem (anterior ao teorema de Shannon [7], [8]). Uma elegante demonstração é encontrada em Theorem 4 [5]. O trabalho é organizado com indicado a seguir. Inicialmente, introduz-se na Seção II, uma representação passa-faixa para wavelets, mostrando como obter os sinais de envoltória e de fase. Isto é aplicado algumas wavelets conhecidas, ilustrando a representação. Na Seção III, investigam-se os efeitos do escalonamento (geração de wavelets-filhas), conectando-se direta e naturalmente à análise wavelet com banco de filtros. A imposição da condição de não haver superposição espectral dos filtros leva a uma nova condição para a análise ortogonal. Novamente, mostra-se que a condição é verificada para algumas wavelets contínuas ortogonais conhecidas, incluindo a wavelet de Shannon. Para wavelets com assimetria no espectro, incluindo wavelet de Meyer [9], [10], Daubechies (e.g. db4 [2]), wavelet de “de Oliveira” [11], a análise também é feita. As conclusões são afinal apresentadas na Seção IV. II. REPRESENTAÇÃO PASSA-FAIXA PARA WAVELETS A aplicação direta do Teorema de Kotel’nikov para uma wavelet-mãe com espectro (efetivamente) confinado na faixa espectral [f m ,f M ], resulta na representação: . . , (1) sendo e processos em banda básica, de espectros limitados em [0,B/2], sendo B:= ! a banda passante da wavelet. Uma forma alternativa é considerar um envelope complexo em banda-básica, modulado por uma portadora: "#$ % . &’.( ) ( * + ,. (2) em que $ % - . &.+ é um sinal (complexo) em banda- básica. De forma direta, como é feito na análise de sinais em Sistemas de Telecomunicações [4], [6], investiga-se como obter uma descrição dos processos componentes e a partir da forma de onda de . A despeito do fato de que a envoltória pode ser extraída diretamente a partir do uso de detector de envoltória clássico [4], optou-se por uma H. M. de Oliveira, qPGOM, Centro de Tecnologia e Geociências, Universidade Federal de Pernambuco, hmo@ufpe.br; R.J. Cintra, Departamento de Estatística, UFPE rjdsc@stat.ufpe.org; R.C. de Oliveira, Engenharia da Computação, Universidade Estadual do Amazonas, rcorrea.oliveira@gmail.com