ESTIMACI ´ ON DE M ´ AXIMA VEROSIMILITUD DE RETARDOS Y DESPLAZAMIENTO DOPPLER Carles Fern´ andez Prades , Olga Mu˜ noz Medina, Juan A. Fern´ andez-Rubio, Alejandro Gonz´ alez Ram´ ırez * Departamento de Teor´ ıa de la Se ˜ nal y Comunicaciones Universitat Polit` ecnica de Catalunya (UPC) {carlos,olga,juan,aramirez}@gps.tsc.upc.es ABSTRACT The parameter estimation in several replicas of the same sig- nal in noise is addressed. The ML criterion for estimating the complex amplitudes, Doppler frequency shifts and time delays reduces to a maximization problem of the compres- sed maximum likelihood function, which is interpreted as a projection of data into signal subspace. Simulation results are presented and compared to the Cramer-Rao Bound. 1. INTRODUCCI ´ ON En una antena se reciben N r´ eplicas de una se˜ nal en banda base conocida, s(t), cada una de ellas con un escalado a i , retardo τ i y desplazamiento Doppler ω i distinto. La se˜ nal resultante se puede expresar como x(t)= N  i=1 [a i s(t - τ i ) cos(ω i (t - τ i )+ φ i )] + n(t) (1) donde n(t) es la suma de N componentes de ruido aditivo gaussiano y blanco en el ancho de banda de inter´ es, con varianza σ 2 . La expresi´ on (1) puede formularse matricialmente utili- zando C = C(ω, τ )= b(t - τ ) exp [j (ωt + φ)] (2) y agrupando la fase φ en la amplitud: x = Ca + n (3) En este trabajo se presenta la estimaci´ on de M´ axima Ve- rosimilitud (en adelante, ML) de los par´ ametros ω = [ω 1 , ··· ,ω i ] T y τ =[τ 1 , ··· ,τ i ] T y se compara con el l´ ımite m´ ınimo te´ orico de la varianza en el error de la es- timaci´ on, el l´ ımite de Cr´ amer-Rao (en adelante, CRB). * Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el gobierno espa ˜ nol (becas FPU-AP2000-3893, CICYT TIC2001-2356-C02-01) y mexicano (CONACYT) . 2. FORMULACI ´ ON DEL PROBLEMA La funci´ on de densidad de probabilidad del vector de datos x, parametrizado por ω, τ y a es p x (ω, τ , a)= 1 (πσ 2 ) N exp  - (x - Ca) H (x - Ca) σ 2  (4) La estimaci´ on ML conjunta se obtiene maximizando la fun- ci´ on de verosimilitud, L(ω, τ , a), y ser´ a proporcional a (4). De (4) se obtiene que la maximizaci´ on conjunta es equiva- lente a min ω,τ ,a (x - Ca) H (x - Ca) (5) Los vectores de par´ ametros ω y τ no son lineales con x, mientras que a s´ ı lo es. En este tipo de problemas, primero se estiman los par´ ametros no lineales y despu´ es se susti- tuyen sus valores en C(ω, τ ) para obtener los par´ ametros lineales [1]. La estimaci´ on de los par´ ametros no lineales se obtiene seg´ un [2]: [ˆ ω MLE , ˆ τ MLE ] = max ω,τ  x H ( C[C H C] −1 C H ) x  (6) Esta funci´ on recibe el nombre de funci´ on de verosimilitud comprimida, L c (ω, τ ). La matriz C[C H C] −1 C H es idem- potente y herm´ ıtica, de manera que maximizar la expresi´ on (6) es equivalente a maximizar [ˆ ω MLE , ˆ τ MLE ] = max ω,τ ( C[C H C] −1 C H ) x  = = max ω,τ P c x (7) donde P c es la matriz de proyecci´ on de los datos x en el subespacio vectorial C formado por los vectores columna de C. Considerando fijo el vector ˆ ω, es decir, movi´ endose en la dimensi´ on de ˆ τ , la matriz C estar´ a formada por versio- nes retardadas de s, de manera que el m´ aximo de la con- voluci´ on de los datos con el filtro adaptado (o equivalente- mente, de la autocorrelaci´ on de los datos) marcar´ a el valor de ˆ τ ′ MLE . El s´ ımbolo (·) ′ indica que la estimaci´ on ML del