VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DIFUSA. ESTUDIO DE DISTINTAS DEFINICIONES. In´ es Couso Dep. Estad´ ıstica e I.O. y D.M. Universidad de Oviedo e-mail: couso@pinon.ccu.uniovi.es Susana Montes Dep. Estad´ ıstica e I.O. y D.M. Universidad de Oviedo e-mail: montes@uniovi.es Luciano S´ anchez Dep. de Inform´atica Universidad de Oviedo e-mail: luciano@ccia.uniovi.es Resumen En este trabajo introducimos una nueva de- finici´ on de varianza de una variable aleatoria borrosa en el contexto de la teor´ ıa de probabi- lidades imprecisas y la comparamos con otras definiciones de la literatura. Nuestro objetivo principal es mostrar la utilidad de cada una de ellas en cada situaci´ on particular. 1 Palabras Clave: Variable aleatoria difusa, varianza, probabilidades imprecisas. 1. INTRODUCCI ´ ON El concepto de variable aleatoria borrosa, que genera- liza la definici´ on cl´ asica de variable aleatoria, fue in- troducido por F´ eron [6] en 1976 y modificado poste- riormente por otros autores. En este contexto, las generalizaciones de las definicio- nes de los par´ametros asociados a una distribuci´on de probabilidad pueden dividirse en dos grandes grupos: por una parte, se han definido algunos par´ ametros co- mo la esperanza [14], la funci´ on de distribuci´on en un punto [2, 10], la varianza [9] y la covarianza [12] de una variable aleatoria borrosa como valores difusos. Por otra parte, se ha definido, entre otros, la varianza [8, 11] como valor num´ erico (n´ ıtido). La introducci´ on de estas ´ ultimas definiciones est´a motivada principal- mente por el inter´ es por parte de los autores en faci- litar la toma de decisiones a partir de par´ ametros con valores num´ ericos y no borrosos. En este trabajo observaremos que el concepto de va- rianza se puede generalizar al caso de variables alea- torias difusas de diferentes maneras. Consideraremos distintas definiciones de este concepto existentes en 1 Este trabajo ha sido financiado por los proyectos BFM2001-3515 y TIC2002-04036-C05-05, parcialmente fi- nanciados con fondos FEDER. la literatura y propondremos una definici´ on adicional, que se podr´ a enmarcar en un modelo de probabilidades imprecisas. Apoy´ andonos en ejemplos sencillos, obser- varemos las ventajas y limitaciones de cada definici´ on en los diferentes contextos. 2. VARIABLES ALEATORIAS DIFUSAS Dado que los conjuntos borrosos se han interpretado en la literatura de m´ ultiples maneras, una variable alea- toria borrosa admite tantos otros significados. A con- tinuaci´ on, vamos a revisar brevemente dos interpreta- ciones de las variables aleatorias borrosas ya existentes en la literatura, y vamos a introducir una nueva. De acuerdo con cada una de ellas, se resumir´ a la informa- ci´on proporcionada por la variable aleatoria borrosa mediante un modelo diferente. En [14], Puri y Ralescu consideran que las observacio- nes de algunos experimentos aleatorios no dan lugar a salidas num´ ericas, sino que vienen representados por t´ erminos ling¨ u´ ısticos imprecisos. De acuerdo con esta idea, algunos autores consideran la variable aleatoria borrosa como una funci´ on medible, en el sentido cl´asi- co, entre cierta σ-´ algebra de sucesos del espacio origi- nal y una σ-´ algebra definida sobre una clase de sub- conjuntos borrosos de IR. En este contexto, se puede utilizar la distribuci´on de probabilidad inducida por la variable aleatoria difusa para resumir la informa- ci´onprobabil´ ıstica que ´ esta proporciona (por ejemplo, podr´ ıa generarse un modelo del tipo siguiente: la pro- babilidad de que el resultado sea “alto” es 0.5, la de que sea “mediano” es 0.25 y la de que sea “bajo” es 0.25). Kruse y Meyer, por su parte, consideran en [10] una interpretaci´ on “posibil´ ıstica” de los conjuntos borro- sos. Seg´ un los autores, la variable aleatoria borrosa representa el conocimiento (vago, impreciso) existente acerca de una variable aleatoria (cl´ asica), X 0 :Ω → IR, a la que denominan “variable aleatoria original”. As´ ı, XII CONGRESO ESPAÑOL SOBRE TECNOLOGÍAS Y LÓGICA FUZZY 267