PROPUESTA ALGORÍTMICA PARA EL PROBLEMA ÁRBOL DE EXPANSIÓN BAJO EL CRITERIO MINMAX REGRET Francisco Pérez Galarce, Alfredo Candia-Véjar, Eduardo Álvarez-Miranda 1 DMGI, Facultad de Ingeniería, Universidad de Talca RESUMEN El presente estudio aborda el problema de Árbol de Expansión con incertidumbre intervalar en los costos, utilizando el criterio Min-Max Regret (MMR); se sabe que la complejidad computacional de este problema es alta. Se proponen e implementan algoritmos, tanto exactos como heurísticos. Descomposición de Benders (BD) y Branch and Cut (B&C), son implementados desde el punto de vista exacto, ambos incluyen variantes. B&C es el que logra obtener mejores resultados, incluso obteniendo soluciones óptimas para instancias de gran tamaño. En relación a los algoritmos aproximados, se desarrolla una heurística constructiva que usa información intervalar, a diferencia de las aproximaciones de la literatura. Adicionalmente, se proponen metaheurísticas basadas en Búsqueda Local (Mejora iterativa, Simulated Annealing y GRASP), donde se obtienen gaps similares a algoritmos propuestos recientemente. Finalmente, se realiza una comparación desde un punto de vista experimental, del desempeño de los algoritmos. I. INTRODUCCIÓN Dentro de la optimización combinatorial en redes, uno de los problemas más estudiados es el árbol de expansión mínima (Minimum Spanning Tree, MST) . Este fue propuesto en diferentes contextos antes del siglo XX, sin embargo, su primera formulación matemática se presentó en Boruvka (1926), fue para resolver esta problemática, netamente práctica (electrificación del sur de Moravia), donde se proporcionó el primer algoritmo conocido para resolverlo. En la década de los 50’, con la aparición de los primeros computadores, surgieron estudios importantes, donde destacan los realizados por (Prim, 1957) y (Kruskal, 1956). Para una revisión completa de los aportes realizados respecto al MST ver (Graham & Hell, 1985), (Magnanti & Wolsey, 1995) y (Nesetril et. al, 2001). Los problemas de árbol han llamado el interés de IO por diversas razones, en primer lugar por su gran aplicabilidad (telefonía, electricidad, hidráulica, transporte, etc.). Otro factor que ha gatillado el estudio de ellos es la facilidad (tiempo polinomial) con la que se puede solucionar el problema raíz (MST). Finalmente, los modelos de árbol representan un problema tipo para muchos problemas de optimización combinatorial, por lo que las técnicas estudiadas en éste pueden ser replicadas para esta clase de problemas. Una discusión presente desde el origen de la IO es la incerteza en los parámetros. Los modelos en forma clásica trabajan bajo el supuesto de que los datos son conocidos. En la práctica trabajar bajo este supuesto es poco realista, la forma tradicional para obviar dicha afirmación es la programación estocástica, sin embargo, esta metodología implica realizar otra aseveración importante, pues requiere definir una distribución de probabilidad, lo cual muchas es inviable. Dada esta dificultad, durante las últimas décadas ha tomado importancia una nueva línea de investigación, la cual trabaja la incertidumbre mediante datos intervalares, donde no se tiene conocimiento con respecto a su distribución de probabilidad. Dicha propuesta de modelamiento de la incertidumbre ha recibido el nombre de optimización robusta (OR). Diversos modelos se han propuesto bajo el contexto de OR, particularmente, en este trabajo se profundizará en el modelo MMR que por lo demás, ha capturado gran atención; prueba de esto son los diferentes modelos que han sido estudiados bajo este concepto; Camino más corto (Karasan et al., 2001) , MST (Yaman et al.,, 2001) problemas de localización (Averbakh & Berman, 2005), vendedor viajero (Montemanni et al., 2007). Una característica importante de los Modelos de tipo MMR es que usualmente modelos que en la versión clásica son fáciles de resolver (tiempo polinomial) en la contraparte robusta se convierten en problemas NP- Hard. En particular al modelo MMR-ST se le demuestra su complejidad en el trabajo presentado por Aron & Van Hentenryck (2004). En (Yaman et al., 2001) se presenta la primera formulación de programación matemática, en este trabajo, además, se presenta una técnica de preprocesamiento. Un algoritmo B&B es presentado en (Montemanni & Gambardella, 2005). Dos algoritmos B&B nuevos son presentados en (Aron & 1 Departamento de Modelamiento y Gestión Industrial, Facultad de Ingeniería