Inversas Generalizadas eAplica»c~ oes usando o Matlab Hamilton Leckar Rubens Sampaio 12 de Novembro de 1999 Introdu»c~ ao Com uma abordagem elementar, mostramos a extens~ ao natural do problema de achar uma solu»c~ao de um sistema linear, conhecidos a matriz retangular do sistema e o seu segundo membro, ao problema n~ao-linear de otimiza» c~ao, de achar o vetor de norma m¶ ³nima que ¶ e transformado no vetor cuja dist^ancia ao segundo membro ¶ e a menor poss¶ ³vel. Mostramos que esse novo problema tem solu» c~ao¶ unica e que a inversa gen- eralizada de Moore-Penrose ou pseudoinversa da matriz do sistema pode ser usada de forma e¯ciente para calcul¶a-la. Mostramos como obter a pseudo inversa da matriz do sistema a partir da sua decomposi»c~ao em valores singulares. Apresentamos exemplos de problemasque se enquadramnaturalmentenessaformula»c~aoe problemascujasolu»c~ao nessaformula»c~aon~ao¶ e apropriada.. 1 Os problemas AX = b e m¶ ³n kAX ¡ bk 2 Nota»c~ ao 1.1 Com X 2 4 denotaremos uma matriz coluna de n coordenadas, identi- ¯cada a um vetor ou ponto em 4 e com A 2 4 denotaremos uma matriz retangular de m linhas e n colunas, tamb¶ em identi¯cada a transforma»c~ao linear de 4 em 4 re- presentada por A nas bases can^onicas desses espa» cos. Muitos problemas de aplica»c~oes de ¶ Algebra Linear recaem no seguinte: Problema 1.1 (AX = b) Consideremos uma dada matriz A 2 4 e um vetor b 2 4 . Achar um vetor X 2 4 tal que AX = b: (1) Extens~ ao ao problema de quadrados m¶ ³nimos Problema 1.2 (m¶ ³n kAX ¡ bk ) Achar X 2 4 tal que : kAX ¡ bk = m¶ ³n fkAZ ¡ bk : Z 2 4 g : (2) Considere para qualquer vetor Z 2 4 , o vetor AZ ¡ b 2 4 : Ent~ao, 1