Egészszámok törzstényezőinek összeadásával és kivonásával kimutatható szabályszerűség Két egymást követő természetes szám törzstényezőinek meghatározott szabályok szerinti összeadásával, illetve kivonásával annak eldöntése, hogy a szóban forgó két szám összege prímszám-e, avagy összetett. Legyen a két egymást követő természetes szám „a” illetve „b = a+1”. Törzstényezős felbontásuk a=p 1 *p 2 *....*p i *....*p m és b=a+1=q 1 *q 2 *...*q j *....*q n A vizsgálandó szám c=a+b=2*a+1; Illetve c=[(c-1)+(c+1)]/2=(2*a+2*(a+1))/2=2*a+1 A vizsgálandó szám törzstényezős felbontása c=2*a+1=r 1 *r 2 *...*r k *...*r s A sejtett törvényszerűség a következő: Ha „c” összetett szám akkor az alábbiakban ismertetett összegek illetve különbségek valamelyikének lesz közös osztója c-vel. Ha „c” prímszám, akkor természetesen nem lesz ilyen osztója. Az összegek típusai: Bármelyik a (p i +q j ), vagy abs(p i -q j ) párosítás Példa: a=7; b=8; c=15 p 1 =7; q 1 =2; p 1 +q 1 =7+2=9; valóban 15-nek és 9-nek van közös osztója a 3, ami egyben a „c” egyik törzstényezője, vagyis r 1 =3 Bármelyik p i párba állítása q j értékek olyan részösszegével, amelyben az előforduló „j” indexek száma egynél nagyobb. Legyen a részösszeg S qt = (q 1 +... +q j +...q t ), ahol t<n Vizsgáljuk a p i +S t illetve az abs(p i -S t ) számokat, ha van közös osztójuk „c”-vel, akkor „c” összetett szám. Hasonlóan a q j értékeket is párba állíthatjuk az S pv értékekkel (v<m). Sőt az S qt és az S pv értékeket is párba állíthatjuk, és akár az S qn és S pm összegeket is, amely számok a törzstényezők teljes összegei. Nem fogadható el az „a” „p i ” törzstényezői közötti különbséggel számolni, és ez a „b” szám „q j ” törzstényezőire is vonatkozik! Párba állítás az említett módokon csak „p” és „q” között elfogadott. Példa: a=474=2*3*79; b=475=5*5*19; a vizsgált szám c=949. Jelen esetben a p 2 =3 és az S 2 =q 1 +q 2 = 5+5 = 10 számok összege, azaz a 3+10=13 lesz nyomravezető, mert 949-nek és a 13-nak van közös osztója, és ez a szám a 13. Ezt az összeget „S det ”-tel jelöljük. Itt S det = 13. Vagyis a 949 összetett szám. Valóban 949=13*73 1