C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 675–680, 2000 Équations aux dérivées partielles/ Partial Differential Equations Reiterated homogenization of monotone operators Jacques-Louis LIONS a , Dag LUKKASSEN b , Lars-Erik PERSSON c , Peter WALL c a Collège de France, 3, rue d’Ulm, 75231 Paris cedex 05, France b Department of Mathematics, HiN, Narvik Institute of Technology, N-8505 Narvik, Norway and Norut Technology Ltd., N-8500 Narvik, Norway c Department of Mathematics, Luleå University of Technology, S-971 87 Luleå, Sweden (Reçu et accepté le 15 février 2000) Abstract. In this Note we study reiterated homogenization of nonlinear equations of the form -div(a(x/ε, x/ε 2 , Duε)) = f , where a is periodic in the first two arguments and monotone in the third. We state that uε converges weakly in W 1,p (Ω) (and even in some multiscale sense), as ε → 0, to the solution u0 of a limit problem. Moreover, we give an explicit expression for the limit problem.  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Homogénéisation réitérée d’opérateurs monotones Résumé. Nous étudions l’homogénéisation réitérée d’équations non linéaires de la forme -div(a(x/ ε, x/ε 2 , Duε)) = f , où a est une fonction périodique dans les deux premiers arguments et monotone dans le troisième. On trouve que uε converge au sens faible dans W 1,p (Ω) (même à un certain sens multi-échelle), quand ε → 0, vers la solution u0 d’un problème aux limites. Ensuite, on formule ce problème limite de façon explicite.  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée La notion d’homogénéisation réitérée a été introduite dans [3], où un résultat pour opérateurs linéaires, connu par la suite sous le nom du théorème d’homogénéisation réitérée, est démontré. Le cas non linéaire correspondant a été étudié, en utilisant la notion de Γ-convergence, pour des problèmes convexes dans [4] et [6]. Ces résultats ont récemment été utilisés pour la conception de matériaux non linéaires possédant des propriétés d’une efficacité étonnante (voir e.g. [4,6,8] et les références de ces travaux). Dans cette Note nous étudions l’homogénéisation réitérée pour les opérateurs monotones à l’aide de deux méthodes différentes. La démonstration du théorème 1 a pour base « la méthode d’énergie », et celle du théorème 2 utilise la convergence multi-échelle. Nous examinons les cas d’opérateurs monotones et nous Note présentée par Philippe G. CIARLET. S0764-4442(00)00242-1/FLA  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 675