´ Etude du bruit dans une analyse M -bandes en arbre dual Caroline CHAUX 1 , Laurent DUVAL 2 , Jean-Christophe P ESQUET 1 1 Institut Gaspard Monge et UMR-CNRS 8049 Universit´ e de Marne-la-Vall´ ee, Champs-sur-Marne, 77454 Marne-la-Vall´ ee, France Tel. : (+33) 1 60 95 77 39 – Fax : (+33) 1 60 95 72 14 2 Institut Franc ¸ais du P´ etrole Direction Technologie, Informatique et Math´ ematiques Appliqu´ ees, 92500 Rueil Malmaison Tel. : (+33) 1 47 52 61 02 – Fax : (+33) 1 47 52 70 12 {caroline.chaux,pesquet}@univ-mlv.fr, laurent.duval@ifp.fr R´ esum´ e– Dans cet article, nous nous int´ eressons aux propri´ et´ es d’un bruit additif apr` es une analyse en ondelettes M-bandes en arbre dual. Cette d´ ecomposition nous permet d’exprimer les liens r´ egissant les coefficients du bruit dans les arbres primal et dual. La connaissance des propri´ et´ es statistiques du bruit s’av` ere en particulier utile ` a la conception de m´ ethodes efficaces de d´ ebruitage sp´ ecifiques aux analyses en arbre dual. Notre contribution r´ eside principalement dans le calcul des fonctions d’intercorr´ elation relatives ` a cette analyse pour diff´ erents types d’ondelettes M- bandes. Nous montrons en particulier que les paires de coefficients issus d’un bruit blanc, regard´ ees point ` a point dans les d´ ecompositions primale et duale, sont d´ ecorr´ el´ ees. Il existe cependant une corr´ elation significative dans un proche voisinage spatial d´ ependant du choix des ondelettes M-bandes. Abstract – In this work, we study the properties of an additive noise undergoing a dual-tree M-band wavelet analysis. We express the relation- ships governing noise coefficients both in the primal and the dual tree. The knowlegde of the noise statistical properties is particularly useful for the design of efficient denoising methods in the framework of a dual-tree wavelet analysis. Our main contribution consists in the computation of the resulting cross-correlation functions for several M-band wavelet families. More specifically, we show that pairwise coefficients, from the primal and the dual-tree resulting from a white noise decomposition, are uncorrelated. Yet, there exists a significant local correlation, whose extent depends on the choice of the wavelet pair. 1 Introduction La d´ ecomposition sur une base d’ondelettes discr` etes est une m´ ethode standard d’analyse et de d´ ebruitage d’image [1]. Ce- pendant, les effets de non-invariance par translation (en anglais shift-variance) des coefficients, dus aux op´ erateurs de sous- ´ echantillonnage, conduisent bien souvent ` a pr´ ef´ erer des d´ ecom- positions non-d´ ecim´ ees, formant des trames tr` es redondantes. Ces derni` eres am´ eliorent notablement les performances de d´ e- bruitage, mais restent coˆ uteuses et surtout ne r´ epondent pas toujours bien aux besoins d’analyse directionnelle des images. Une analyse en ondelettes en arbre dual correspond ` a une d´ ecomposition des signaux sur une trame de redondance 2. Elle offre un excellent compromis entre le coˆ ut de calcul, une quasi- invariance par translation, une bonne robustesse aux bruits et la possibilit´ e d’analyser des images dans plusieurs directions. Elle repose sur le traitement des signaux par deux bancs de filtres hi´ erarchiques classiques, op´ erant en parall` ele. Le second banc de filtres est appel´ e ’dual’ du premier, dit ’primal’. Il est choisi de telle sorte que les ondelettes g´ en´ er´ ees par les bancs primal et dual forment des paires de Hilbert. Le gain obtenu par l’usage de paire de Hilbert a ´ et´ e reconnu depuis [2]. La construction d’analyses en arbre dual a ´ et´ e initialement d´ evelopp´ ee par N. Kingbsbury [3] puis formalis´ ee par I. Se- lesnick [4], dans le cas particulier des ondelettes dyadiques. Nous avons r´ ecemment g´ en´ eralis´ e [5, 6] cette notion d’ana- lyse en paires de Hilbert pour les ondelettes M -bandes, avec M> 2. Ces travaux ont pr´ ecis´ e l’expression des retards induits dans le banc dual, le pr´ efiltrage requis sur les signaux discrets avant chaque d´ ecomposition, ainsi qu’une expression optimale de la reconstruction [6]. Les d´ ecompositions M -bandes ainsi obtenues, pour M> 2, permettent des d´ ecompositions plus pr´ ecises en fr´ equence que dans le cas dyadique, ainsi qu’une meilleure s´ electivit´ e directionnelle. La libert´ e de choix accrue dans les filtres M -bandes permet enfin d’utiliser des ondelettes ` a la fois sym´ etriques et orthogonales. Dans cet article, nous ´ etudions les propri´ et´ es d’un bruit addi- tif apr` es une d´ ecomposition par un arbre dual M -bandes. Nous rappelons tout d’abord les propri´ et´ es d’une telle analyse. Le d´ ebruitage par seuillage peut ˆ etre ensuite appliqu´ e de fac ¸on ind´ ependante sur les deux arbres, ou en appariant les coeffi- cients analogues sous forme de nombre complexe. Cependant, afin de mieux comprendre le comportement d’un bruit station- naire apr` es d´ ecomposition, nous calculons les diff´ erentes inter- corr´ elations en une et deux dimensions. Nous produisons des expressions explicites pour quelques familles d’ondelettes M - bandes, ainsi que les r´ esultats num´ eriques correspondants. Nous retrouvons le r´ esultat selon lequel les paires de co- efficients primal et dual d’un bruit blanc sont ` a composantes d´ ecorr´ el´ ees, mais montrons qu’il existe entre elles une cor- r´ elation ` a court terme dont l’´ etendue d´ epend des ondelettes consid´ er´ ees.