G ´ EOM ´ ETRIE DES POLYN ˆ OMES ` A COEFFICIENTS COMPLEXES. J ´ ER ˆ OME D ´ EGOT R´ esum´ e. Dans cet article, on invite le lecteur ` a une balade en g´ eom´ etrie des polynˆ omes, do- maine des math´ ematiques qui a pour objet la distribution des racines d’un polynˆ ome ` a coeffi- cients complexes. Les connaissances pr´ erequises portent sur l’analyse complexe : th´ eor` eme de Gauss, produit scalaire hermitien, homographies, plan complexe projectif P1(C),. . . elles sont peu nombreuses. J’esp` ere donc permettre au plus grand nombre de s’initier ` a un champ des math´ ematiques souvent d´ elaiss´ e et dont pourtant l’un des grands avantages tient ` a sa relative accessibilit´ e. Nous ne consid´ ererons que des polynˆomes ` a coefficients complexes, l’´ etude de la distribution de leurs racines se fera avec un unique outil que nous introduirons au fil des paragraphes 3, 4 et 5. La suite sera d´ evolue `a divers exemples dont la diversit´ e contraste, je l’esp` ere, avec les techniques de d´ emonstration qui reposent sur une mˆ eme id´ ee. Table des mati` eres 1. Introduction et historique. L’objet de cet article est la th´ eorie analytique des polynˆomes : on y traite de polynˆ omes du point de vue analytique, c’est-` a-dire que ce n’est pas l’objet formel qui nous int´ eresse, mais son comportement en tant que fonction. La g´ eom´ etrie des polynˆ omes trouve ses origines dans les travaux de Gauss. Lorsqu’il prouve que tout polynˆ ome ` a coefficients complexes admet au moins une racine, Gauss montre au passage qu’un polynˆ ome P ` a coefficients complexes ne s’annule pas en dehors d’un disque de rayon R o` u R est d´ efini ` a partir des coefficients de P . Dans le cas o` u P (z )= z n + A 1 z n−1 + ··· + A n est ` a coefficients r´ eels il obtient (en 1799) R = max(1,S ) avec S la somme des coefficients en valeur absolue, puis en 1816 que R = max(n|A k |) 1/k . En ce qui concerne les polynˆ omes ` a coefficients r´ eels ou complexes il prouve en 1849 que R peut ˆ etre pris comme la racine positive de l’´ equation : z n − (|A 1 |z n−1 + ··· + |A n |). Ces r´ esultats constituent les pr´ emices de la th´ eorie analytique des polynˆ omes. On doit ensuite ` a Cauchy plusieurs r´ esultats importants en g´ eom´ etrie des polynˆ omes. On peut citer ` a titre d’exemple : le principe de l’argument, le th´ eor` eme de Rouch´ e, la th´ eorie de l’indice.... Dans la pr´ esente note nous n’aborderons pas ce point de vue, puisque les r´ esultats ´ evoqu´ es ne sont pas sp´ ecifiques aux polynˆ omes mais s’appliquent ` a d’autres types de fonctions, plus larges, comme les fonctions analytique d’une variable complexe. On se limite ici aux m´ ethodes sp´ ecifiques aux polynˆ omes complexes. L’article comporte six parties. Apr` es l’introduction, nous introduisons dans la seconde partie le th´ eor` eme de Grace selon la pr´ esentation classique, la partie suivante est consacr´ ee ` a une variante du th´ eor` eme de Grace : le principe de contraction de Walsh. Dans les parties 4 et 5, Mots cl´ e. G´ eom´ etrie, polynˆ ome, Grace, Walsh, homographie. 1