A Transformada Discreta do Seno em um Corpo Finito R. M. Campello de Souza M. M. Campello de Souza H. M. de Oliveira M. M. Vasconcelos Depto de Eletrˆonica e Sistemas, CTG, UFPE. 50670-901, Recife, PE E-mails: (ricardo,hmo,marciam)@ufpe.br, mmv@ee.ufpe.br Resumo Uma nova transformada, a transformada discreta do seno sobre um corpo finito (TDSCF) ´ e introdu- zida. O n´ ucleo da TDSCF ´ e a fun¸ c˜ ao trigonom´ etrica seno definida sobre um corpo finito. A TDSCF tem comprimentos que s˜ ao divisores de (p + 1)/2. Um caso especial ´ e a TDSCF de Mersenne, definida quando p ´ e um primo de Mersenne. Essa classe de TDSCFs tem comprimentos que s˜ ao potˆ encias de 2 e podem ser computadas por algoritmos FFT de base 2. 1 Introdu¸ c˜ ao Transformadas discretas definidas sobre estruturas finitas ou infinitas tem muitas aplica¸ c˜ oes em En- genharia. Dentre as v´arias transformadas discretas definidas sobre os reais ou complexos, a transfor- mada discreta de Fourier (TDF) e as transforma- das discretas do cosseno (TDC) e do seno (TDS) tem desempenhado um papel importante em En- genharia El´ etrica. A TDC e a TDS tem recebido muita aten¸ c˜ ao devido ao seu uso em sistemas de co- difica¸ c˜ ao por transformadas. Em particular, a DST ´ e o fundamento da t´ ecnica de codifica¸ c˜ ao de bloco recursiva e tem sido usada na implementa¸ c˜ ao r´ apida de transformadas ortogonais para codifica¸ c˜ ao [1, 2]. Embora discretizadas no dom´ ınio da vari´ avel inde- pendente, estas transformadas tem coeficientes que pertencem a um estrutura infinita. Portanto, elas podem ser vistas como um tipo de “transformada anal´ ogica”. Por outro lado, transformadas defini- das sobre estruturas finitas, al´ em de discretizadas no dom´ ınio da vari´ avel independente, tem seus coe- ficientes definidos sobre um alfabeto finito e podem ser vistas como “transformadas digitais”. A An´alise de Fourier pode ser aplicada para tra- tar sinais definidos sobre corpos finitos, por meio da transformada de Fourier de corpo finito (TFCF), introduzida por Pollard e aplicada para compu- tar convolu¸ c˜ oes discretas usando aritm´ etica modu- lar [3]. Uma vers˜ ao de corpo finito da transfor- mada discreta de Hartley, a transformada de Har- tley de corpo finito (THCF), foi introduzida em [4]. Aplica¸ c˜ oes da THCF incluem o projeto de siste- mas de multiplexa¸ c˜ ao digital, de sistemas de acesso m´ ultiplo e de seq¨ uˆ encias multin´ ıveis para espalha- mento espectral [5, 6]. Recentemente, a vers˜ ao de corpo finito da TDC, foi introduzida [8]. Essas transformadas s˜ ao exemplos de transformadas di- gitais. Neste trabalho, uma nova transformada digital, a transformada discreta do seno em um corpo fi- nito (TDSCF), ´ e introduzida. A partir de uma tri- gonometria para corpos finitos introduzida recente- mente [4], a fun¸ c˜ ao trigonom´ etrica seno sobre um corpo finito ´ e usada para construir a TDSCF. Na se¸ c˜ ao 2 alguns fundamentos matem´aticos s˜ ao apre- sentados, que incluem a fun¸ c˜ ao seno e a constru¸ c˜ ao de n´ umeros complexos em um corpo finito. Uma nova propriedade dessas fun¸ c˜ oes ´ e introduzida, a qual leva ` a defini¸ c˜ ao da TDSCF na se¸ c˜ ao 3. A existˆ encia da TDSCF inversa ´ e demonstrada e al- guns exemplos s˜ ao apresentados. A se¸ c˜ ao 4 cont´ em as conclus˜ oes do trabalho. 2 Fundamentos Matem´ aticos 2.1 O Corpo Finito dos N´ umeros Complexos Defini¸ c˜ ao 1 GI(p)  {a + jb, a, b ∈ GF(p)}, p um primo ´ ımpar tal que j 2 ≡−1 (mod p) n˜ ao ´ e um res´ ıduo quadr´ atico em GF(p) (i.e., p ≡ 3 (mod 4)), ´ e o conjunto dos inteiros gaussianos sobre GF(p). Da defini¸ c˜ ao acima, todo elemento de GI(p) pode ser representado na forma a + jb e´ e denominado n´ umero complexo de corpo finito. Defini¸ c˜ ao 2 O conjunto unimodular de GI(p) ´ eo conjunto de elementos ζ =(a + jb) ∈ GI(p), tais que a 2 + b 2 ≡ 1 (mod p). Os elementos ζ s˜ ao de- nominados elementos unimodulares. Esse conjunto ´ e um grupo c´ ıclico de ordem p + 1 [9].