AUTOUR DES MATRICES DE FROBENIUS OU COMPAGNON Hervé Carrieu, Maurice Fadel, Etienne Fieux, Patrice Lassère & Frédéric Rodriguez 12 février 2007 « When a polynomial in one variable interests you, ask about the matrices of which it is the caracteristic polynomial. » Olga Taussky, 1 Table des matières 1 INTRODUCTION 3 2 RÉSULTATS FONDAMENTAUX 4 2.1 Endomorphismes et matrices cycliques ...................... 4 2.2 Théorème de décomposition de Frobenius ..................... 6 2.3 Quelques propriétés topologiques .......................... 8 2.4 Propriétés spectrales ................................. 9 3 APPLICATIONS À L’ALGÈBRE LINÉAIRE 11 3.1 Le Théorème de Cayley-Hamilton ......................... 11 3.2 Décomposition de Jordan .............................. 12 3.3 Matrices semblables ................................. 14 3.4 Matrice transposée .................................. 15 3.5 Commutant et bicommutant ............................. 17 3.5.1 Le commutant ................................ 17 3.5.2 Approche topologique de la dimension du commutant .......... 19 3.5.3 Le bicommutant ............................... 20 3.5.4 Quelques précisions sur la dimension du commutant ........... 21 4 AUTRES APPLICATIONS MATHÉMATIQUES 24 4.1 Polynômes de Sylvester ............................... 24 4.2 Les formules de Newton ............................... 25 4.3 Localisation des racines d’un polynôme ...................... 27 4.4 Quelques dernières applications .......................... 28 5 UNE APPLICATION « CONCRÈTE » 29 6 CONCLUSION 32 1 « How I Became a Torchbearer for Matrix Theory », American Mathematical Monthly (1988), Vol. 95-9. 1