Le journal de maths des ´ el` eves, Volume 1 (1998), No. 4 207 Courbes du plan et droites al ´ eatoires Camille Laurent-Gengoux 1 R´ esum´ e Nous ´ etudions dans ce travail les liens entre la notion de longueur d’une courbe et la probabilit´ e pour une droite quelconque de couper cette courbe. Nous abor- dons quelques points li´ es `a la non-rectifiabilit´ e et ` a la dimension d’une courbe. S’il faut classer les courbes en deux cat´ egories, plutˆ ot que d’opposer les courbes diff´ erentiables et celles qui ne le sont pas, mieux vaut peut-ˆ etre distinguer les courbes rectifiables et les non-rectifiables. Nous allons voir pourquoi en d´ egageant les propri´ et´ es diff´ erentes de ces deux derniers types de courbes. Dans le cas rectifiable, les notions ´ etudi´ ees seront celles de tangente et de probabilit´ e g´ eom´ etrique. Dans le cas non-rectifiable les mots importants seront di- mension et fractale. Nous nous placerons toujours dans le plan. 2 Qu’est ce que la longueur ? Soit une courbe C, image du segment [0, 1] par une application continue f ` a valeurs dans le plan. Nous ne faisons sur f aucune autre hypoth` ese de r´ egularit´ e. Un polygone d’approximation P de f est un polygone dont les sommets sont les images par f d’une suite finie croissante a 0 , ..., a n de r´ eels de [0, 1] tels que a 0 vaut 0 et a n vaut 1. On appelle ✭✭ pas ✮✮ du polygone le maximun des a j − a j−1 . On d´ efinit la longueur de ces polygones, not´ ee l(P ) comme ´ etant la somme des distances d’un point au suivant (voir figure 1). On appelle longueur de la courbe C laborne sup´ erieure des longueurs des polygones d’approximation. Cette valeur peut ´ eventuellement ˆ etre infinie. On la note l(C). Un th´ eor` eme important permet de simplifier la d´ efinition pr´ ec´ edente : Th´ eor` eme 1. Soit P n une suite de polygones d’approximation dont le pas tend vers z´ ero. Alors la limite des longueurs des P n tend vers la longueur l(C). D´ emonstration. La limite sup´ erieure des P n est inf´ erieure `a la longueur l(C) par d´ efinition de celle- f(0) f(a 1 ) f(a 2 ) f(a 3 ) f(1) Figure 1: Longueur ci. Par ailleurs, si Q est un polygone d’approximation dont f (a 0 ), .., f (a m ) sont les m + 1 sommets, et si ǫ est un entier positif quelconque, alors, ` a partir d’un certain rang, par continuit´ e de f , chaque sommet de Q sera situ´ e `a une distance inf´ erieure ` a ǫ/2m d’un sommet des polygones d’approximation P n . On a d` es lors l’in´ egalit´ e: l(P n ) >l(Q) − ǫ La limite inf´ erieure de la suite des longueurs des polygones d’approximation est donc sup´ erieure ` a la longueur de la courbe C. Remarquons que si la courbe C estsimple(c’est-`a-dire si f est injective), imposer que le pas tende vers z´ ero revient, par uniforme continuit´ e de la fonction f ,` a im- poser que la distance entre deux sommets cons´ ecutifs tende vers z´ ero. On dira enfin qu’une courbe, d´ efinie maintenant sur un intervalle I (ouvert ou ferm´ e), est rectifiable si elle est localement de longueur finie, c’est-`a-dire si pour tout point a de I , il existe un intervalle contenant a tel que la restriction de C ` a cet intervalle soit de longueur finie. 3 Qu’est-ce que la dimension fractale ? La saucisse de Minkowski de taille ǫ d’un ensemble E quelconque du plan est l’ensemble des points situ´ es`a une distance strictement inf´ erieure ` a ǫ de E. C’est aussi l’union des boules ouvertes de rayon ǫ centr´ ees sur un point de E. Cet ensemble ´ etant un ouvert, on peut parler de son aire, not´ ee A ǫ (E).