Estocasticidad de un atractor ca´ otico determinista implementado en FPGA L. De Micco ∗† , O. G. Zabaleta ∗ , C. M. Gonz´ alez ∗ , C. M. Arizmendi ∗ , H. A. Larrondo ∗† ∗ Departamentos de F´ ısica y de Ingenier´ ıa Electr´ onica Facultad de Ingenier´ ıa, Universidad Nacional de Mar del Plata Juan B. Justo 4302, Mar del Plata, Argentina Email: ldemicco@ﬁ.mdp.edu.ar † CONICET Resumen—En este trabajo se estudia el grado de estocas- ticidad de un sistema ca´ otico determinista, implementado en punto ﬂotante IEEE 754 de precisi´ on simple en una Field Programmable Gate Array (FPGA), y se lo compara con el de una implementaci´ on en aritm´ etica entera. El principal aporte es obtener una metodolog´ ıa de dise˜ no ´ optima para la aplicaci´ on en la que el sistema ca´ otico sea utilizado. El grado de estocasticidad se determina en funci´ on de dos cuantiﬁcadores provenientes de la teor´ ıa de la informaci´ on: la entrop´ ıa y la complejidad estad´ ıstica. Se reportan resultados experimentales para el oscilador ca´ otico de Lorenz. I. I NTRODUCCI ´ ON Los sistemas ca´ oticos han producido en los ´ ultimos treinta a˜ nos una revoluci´ on en nuestra visi´ on de la naturaleza debido a que poseen dos caracter´ ısticas contrapuestas: por un lado tienen un modelo matem´ atico que los describe, y eso los ubica en la clase de los sistemas deterministas; por otro lado la predictibilidad a largo plazo se pierde a causa de la sensibilidad a las condiciones iniciales, lo que los incluye en la clase de sistemas estoc´ asticos para los cuales el an´ alisis se realiza por la v´ ıa estad´ ıstica. En realidad si fuera posible implementarlos con precisi´ on inﬁnita los sistemas ca´ oticos ser´ ıan deterministas en sentido estricto. La dualidad determinista-estoc´ astico de los sistemas ca´ oti- cos los hace especialmente interesantes para la ingenier´ ıa, dado que las se˜ nales que generan se pueden utilizar como ruidos controlados en diversas aplicaciones: En una implementaci´ on real tanto el tiempo como los propios valores de las se˜ nales son discretos. La discretizaci´ on del tiempo obliga al uso de un algoritmo que reemplace las ecuaciones diferenciales te´ oricas que modelan el sistema. El algoritmo m´ as simple es el m´ etodo de Euler de primer orden en el que las derivadas son directa- mente reemplazadas por incrementos ﬁnitos. Algoritmos m´ as elaborados como el de Runge-Kutta de orden 4 o mayor, los algoritmos de paso variable, o los de varios pasos permiten un sistema discreto m´ as cercano al sistema continuo pero a un mayor costo en recursos. La discretizaci´ on de los propios valores de las se˜ nales equivale a deﬁnir un alfabeto ﬁnito y convertir la serie original en una serie simb´ olica (que en nuestro caso es tambi´ en una serie num´ erica). As´ ı por ejemplo la representaci´ on en aritm´ etica entera con n bits tiene un alfabeto de 2 n s´ ımbolos y una representaci´ on punto ﬂotante tiene un alfabeto que depende del est´ andar adoptado. En este trabajo se investiga el efecto de la discretiza- ci´ on sobre la estocasticidad del sistema ca´ otico. El sistema estudiado es el oscilador de Lorenz implementado en una Field Programmable Gate Array (FPGA). La determinaci´ on del grado de estocasticidad tiene por objeto proporcionar una metodolog´ ıa de dise˜ no optimizada para el uso que se pretenda dar al sistema ca´ otico. As´ ı por ejemplo hay aplicaciones que requieren que el sistema ca´ otico reemplace a un sistema estoc´ astico (criptograf´ ıa [1], generadores de secuencias para comunicaciones de espectro esparcido [2], [3], generadores de n´ umeros seudoaleatorios [4], [5], [6], reducci´ on de la interferencia electromagn´ etica [7], etc.). Otras aplicaciones en cambio requieren pedictibilidad a largo plazo (por ejemplo en comunicaciones anal´ ogicas empleando sincronizaci´ on entre portadoras ca´ oticas [8], [9]) . Los resultados mostrados corresponden al sistema de Lo- renz pero la metodolog´ ıa propuesta es aplicable a cualquier sistema ca´ otico de baja dimensi´ on. La implementaci´ on se realiza en tres niveles: (a) simulaci´ on con Simulink c  , (b) simulaci´ on con el software de desarrollo Quartus II 7,2 c  y (c) implementaci´ on f´ ısica en punto ﬂotante est´ andar IEEE 754 con precisi´ on simple (32 bits) en la placa Cyclone III EP 3C120 de Altera c  . Se compraran los resultados con los obtenidos previamente en aritm´ etica entera de 16 bits [10]. La discretizaci´ on se realiza mediante el algoritmo de Euler de primer orden. Para cuantiﬁcar la estocasticidad del sistema se utiliza una representaci´ on en el plano entrop´ ıa-complejidad, que ha mostrado ser muy eﬁcaz para poder clasiﬁcar sistemas deterministas y estoc´ asticos de diversos or´ ıgenes [11]. Un aspecto relevante en este proceso es el de asociar a la serie simb´ olica una funci´ on densidad de probabilidad (PDF) causal obtenida por el procedimiento de Bandt-Pompe [12], que presenta la ventaja de ser una cantidad intensiva, sencilla de implementar, y que es capaz de diferenciar entre diferentes grados de periodicdad y caos. El trabajo est´ a organizado como sigue: en la secci´ on II se describe el oscilador de Lorenz en punto ﬂotante en el est´ andar IEEE 754 y en su versi´ on en aritm´ etica entera [10]. La secci´ on III trata sobre la metodolog´ ıa de implementaci ´ on; en la secci ´ on IV se deﬁne los cuantiﬁcadores a utilizar y en la secci´ on V se presentan y discuten los resultados.