計測自動制御学会論文集 Vol.46, No.3, 170/177（2010） 周波数依存 LMI を用いた次数固定 H ∞ 制御器の数値最適化 佐 伯 正 美 ∗ ・Unggul Wasiwitono ∗ Numerical Optimization of a Fixed-order H ∞ Controller Using Frequency-dependent LMIs Masami Saeki ∗ and Unggul Wasiwitono ∗ In this paper, a search method for a fixed-order controller that satisfies the standard H∞ control problem is proposed. This is a descent method that gives a sequence of the stabilizing controllers so that the H∞ per- formance function may be monotonically non-increasing. A frequency-dependent LMI(linear matrix inequality) with respect to the coefficient matrices of the controller is derived from the H∞ norm constraint. This method is applicable to the frequency response of the plant. Key Words: numerical optimization, low order controller, H∞ control, linear matrix inequality 1. はじめに 標準 H∞ 制御理論による制御器は高次元となるので 1) ，し ばしば，モデルの低次元化法により低次制御器が求められ る 2), 3) ．低次元化法は H∞ 制約を満たす制御器を求めない ので，低次元化法で得られた制御器を初期値として H∞ 評価 関数値を局所最小化する制御器を探索すれば，よりよい解が 得られる可能性が高い．H∞ 評価基準を満たす固定次数の制 御器を探索する数値解法が数多く提案されている． 制御対象が状態方程式で表わされる場合には，この最適化 問題はリアプノフ変数と制御器の係数行列を変数とする双線 形行列不等式 (BMI) の可解問題として定式化される．局所 解の探索法として線形行列不等式 (LMI) に基づく数値解法が 数多く提案された．rank 条件つきの LMI 問題に帰着する方 法 4)～7) や制御器の変数を陽に扱う方法 8)～10) などがある． 一方，制御対象が周波数応答で表わされる場合には，文献 11) では，非滑らかさを考慮した H∞ ノルムの勾配計算による 降下法が提案された．われわれは，H∞ 制約条件から周波数 依存の行列不等式を満たす制御器を求める反復解法を提案し た 12)～14) ．周波数領域で扱う利点として，変数が制御器の係 数のみで低次である点と，状態方程式を導出する必要がない 点が挙げられる．本稿では，この方法を検討する． 筆者らの研究経過を少し詳しく説明しよう．文献 12) で， H∞ 制御理論の一般解を介して周波数依存行列不等式を導出 し，LMI 反復計算による多変数および分散 PID 制御器の計 ∗ 広島大学大学院工学研究科 東広島市鏡山 1–4–1 ∗ Graduate School of Engineering, Hiroshima University, 1– 4–1 Kagamiyama, Higashi-Hiroshima （Received January 25, 2010） 算法を提案した．文献 13) では，制御対象の周波数応答から 直接に行列不等式を導出する方法を与えた．文献 14) では， 降下法を与え，低次元制御器を初期値とした動的制御器の部 分的最適化に適用した．部分的とは，制御器の A, B 行列を 固定して C, D 行列に関して最適化することである．この方 法と μ 解析を組み合わせることで，伝達関数近似せずに μ 設 計が行なえる 15) ． 本稿では，文献 14) の方法の拡張を検討し，制御器のすべ ての係数に関する数値計算法を提案する．そのために，4 章 では制御器のすべての係数に関する BMI を導出し， 6 章では フィードバック系の安定条件を明らかにする．これらの結果 と文献 14) の方法に基づいて，アルゴリズムを与える． 2. 問題設定 次式で表わされるフィードバック制御系を考えよう． z = G11(s)w + G12(s)u （1） y = G21(s)w + G22(s)u （2） u = K(s)y （3） ここに，z ∈ R p 1 は制御量，y ∈ R p 2 は観測出力，w ∈ R m 1 は外乱，u ∈ R m 2 は制御入力である．制御器 K(s) が K(s)= CK(sI - AK) -1 BK + DK. （4） と表わされるとする．制御器の状態変数を x k ∈ R n k とする と，(3) 式の状態方程式表現は ˙ x k = AKx k + BKy （5） u = CKx k + DKy （6） TR 0003/10/4603–0170 c  2010 SICE