Multi-représentations Gilles Aldon Ifé (Institut français de l'éducation, Ecole Normale Supérieure de Lyon), S2HEP, Université Lyon 1 Introduction Dans cet article, je souhaite développer, à travers la multi-représentation, le rôle de la technologie dans l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques. Les représentations d'objets mathématiques sont inhérentes à l'activité mathématique, lorsqu'on cherche un problème, lorsqu'on enseigne les mathématiques ou lorsqu'on les apprend. La technologie apporte des registres nouveaux de représentation de ces objets qui enrichissent et complexifient les registres existants. Les apports de la technologie pour l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques ne peuvent s'entendre sans une prise en compte de cette complexification des rapports des sujets aux objets mathématiques en jeu. Par ailleurs, l'évolution des technologies et leurs usages dans et en dehors de la classe pose le problème de leur intégration dans l'ensemble des ressources des enseignants et des élèves. Les questions qui se posent alors concernent les rapports entre les apprentissages et les usages des technologies. Sans chercher à répondre complètement à ces questions, je souhaite examiner les conditions permettant de conduire les acteurs à des utilisations réfléchies des technologies. Le signe, le signifiant et le signifié Travailler avec un objet mathématique impose de travailler avec certaines de ses représentations et, pour parodier Magritte (dessin 1), 1 est différent de un. Ce n'est qu'un signe, parmi d'autres, qui désigne, représente le nombre un, tout comme d'autres symboles, dans d'autres registres peuvent aussi représenter ce même nombre. Contrairement à ce qui se passe dans l'art, les signes en mathématiques se doivent d'être opérationnels, c'est à dire efficients à l'intérieur d'une représentation. Il est toujours possible d'utiliser d'autres symboles, mais la familiarité que l'on a avec les symboles est particulièrement importante pour atteindre à travers eux le sens de l'objet représenté. Un simple décalage dans ces représentations peut rendre difficiles des prises de décisions sur des objets pourtant familiers. L'exemple des deux multiplications de la figure 2 illustre bien ce décalage : s'il est assez facile de se convaincre que la première multiplication est juste en vérifiant l'ordre de grandeur, le chiffre des unités, en faisant éventuellement une « preuve par 9 », il est beaucoup plus délicat de savoir si la seconde, écrite en base huit est exacte. Les indices, au sens de Peirce (1978/1938), ne sont plus présents, la contiguïté du signe et de l'objet n'est plus assurée, les traces sensibles du phénomène étudié (ici une multiplication) ne permettent plus l'expression directe de l'objet représenté. Les objets mathématiques que les mathématiciens manipulent ont des représentations diverses et le travail du mathématicien ne se fait pas sur les objets mais sur certaines de leurs représentations : « Des représentations sémiotiques sont des productions constituées de signes appartenant à un système de représentation qui a ses propres contraintes de signifiance et de fonctionnement. » Figure 1 : Magritte, Ceci n'est pas une pipe Figure 2: Multiplications en base 10 et 8